德布罗意博士毕业论文《量子理论的研究》鉴赏

1.前言和动机

当代中国有两个奇迹：一是用不到10%的耕地生产了25%的粮食，从而养活了20%的人民；二是用1.5%的中文互联网内容养活了20%的中文网民，假如只考虑大陆境内的网站的话，那就只有约0.3%。同比之下英文资料占有55.6%，两者有着质的差距。

参考前者的解决方法，其实最优解就是做所谓的互联网袁隆平，给出能从有限的语料中提取有用信息的普适高效方法（做类似chatgpt的ai模型），但与此同时，也需要有人来产出有建设性的内容，为中文互联网内容填充内容。对此有人说：“你要觉得社会不好就去建设它”，我觉得很对，这就是我接下来写有关物理著名论文鉴赏的动机之一。

原本计划第一个写爱因斯坦的《论动体的电动力学》（Albert Einstein. Zur elektrodynamik bewegter körper），但是转念一想，其实夸赞和批判这篇文章应该也称不上具有建设性，毕竟大部分人其实都清楚爱因斯坦的水平。所以我打算调下顺序，先来写德布罗意的博士毕业论文《量子理论的研究》（de Broglie, RECHERCHES SUR LA THEORIE DES QUANTA），为这位在国内倍受污蔑的物理学家简单平反一下。限于本人语言水平，接下来参考的论文版本是英文翻译版，所以可能和原文有些偏差。假如两者出现偏差，我会参考原文进行修改并指出翻译版的错误。

下面简单说一下为什么国内对德布罗意有深远的污蔑：首先德布罗意的这篇论文远不止一页，单英文翻译版就有81页，法语原版更是有121页。内容更是开拓性的强悍，严谨的数学和物理推导让人难以想象这篇文章主要是作者在一战参军时期完成的；然后德布罗意是受过一套完整的物理学教育的（至少比我完整），他只有本科一年学过历史，之后就全力学习研究物理，压根就不是所谓的“文科生”。最后是德布罗意不是所谓的花花公子，相反，他在得诺奖之后依然坚持物理研究直至去世，身处89岁高龄仍在著作物理专著（Les incertitudes d'Heisenberg et l'interprétation probabiliste de la mécanique ondulatoire）。德布罗意和法拉第，两者虽然出身相差甚远，但都提出了推导物理发展至关重要的概念（场和物质波），共同呈现出淡泊名利和为物理献身的崇高精神，用行动证实了英雄不问出处，任何对他们科学精神和成就的污蔑都是不合理的。

本鉴赏主要围绕论文主线展开，而不会过分追求阐述相对不重要的理论细节和严格性，特别是严格性。因为无论对于过去再怎么完美的论文，以现在的理论来看都是不完善的，所以本鉴赏着重在呈现大师的理论思路，争取给出本论文的主要物理图像，以起到抛砖引玉的作用。

该论文正文主要由七部分组成：相波，莫培督原理与费马原理的相似性，轨迹的量子稳定性，两体运动，光量子，X射线衍射和量子统计力学。为能提供更为准确的物理图像，我会将三四部分合并在一起，同时略去偏离主线且不完善的量子统计力学部分，因为在此方面最重要的开拓者是玻色而非德布罗意。

假如文中有任何错误，请各位读者为我批评指出，我会及时更正。

2.第一章：引入相波

作者在第一章先是简述了狭义相对论中的质能方程，以及具有静质量物体的运动质量和能量。接着在量子理论中能量必定有相关对应频率的前提下引入了普朗克公式（式子E为物质波能量，h为普朗克常数，为物质波振动频率）

在这里作者发现了h具有作用量的量纲，这不仅引出了第二章的讨论，同时也是路径积分量子化的大前提（只用h就可以构造生成泛函）。

由于相对论质量能量的对等，作者假设电子为分布在空间的能量并得出本文的关键结论：（m为电子动质量，为静质量，c为光速，为相对论因子）

在得出此结论后，根据后文1.3的理论，作者得出了电子能量不一定分布在局域空间的结论，并反复强调，一个电子的能量可以分布在整个空间，同时也作为不可分割的单一微观粒子（不存在半个电子）。

接下来作者通过计算验证了上述公式与狭义相对论中的粒子Lorentz变换没有矛盾，并且得出了电子能量波相速度V=c/β一般是超光速的（β一般小于1，除非电子超光速）。然后作者举了旋转圆盘振动的例子来说明相速度不传递能量，上述结论并未违反狭义相对论。到此为止，作者建立了物质运动与波动传播的关联，之后作者又在第二章用莫培督原理与费马原理的相似性进一步证实了他的观点。

同时作者在1.2中运用上述的物质波公式计算了物质波的群速度（波传递能量的速度）：（下式中V=c/β为相速度）

结果与粒子实际运动速度吻合，进一步证实了物体移动是波动能量转移。

在1.3中，作者绘制了时空图来形象地描述电子在空间的能量波。

（静止电子的一个波动周期）时为直线2。则位于与A点相同x的静止观察者在两个同时面所测的相位分别是和。同时因为，在静止观察者看来，电子相位在CD长度的时间移动了CB的距离，所以由时空图可得相速度为V=tanCDB=c/β，同时AD长为静止观察者在原地所测周期，由时空图可得，进而得频率，与作者在1.1中所描述物质波频率结果一致。

3.第二章：莫培督原理与费马原理

在本章作者首先于2.2节介绍了经典力学中应用于实物粒子的莫培督原理（Maupertuis‘principle）：

其中p和q分别为正则动量和坐标。

之后作者在2.3中将其推广至相对论性的带电粒子上，只需对动量做出相应的修改：

(W为粒子总能量)这时也有：

接着作者在2.4中介绍了应用于波动传播的费马原理：

其中为波的相位，相位作为不变标量可以自然分解为：

作为的函数，代表着一个波动传递的矢量，假如将坐标分解到熟知的四维时空中那就能得到熟悉的波动相位表达式：式中l的方向指向传播方向。

(此处英文翻译有误，按原文应为）式中为坐标轴和传播方向的夹角。

可得

，于是相位

，与莫培督原理一致。

于此，作者得出结论：应用于相位波的费马原理等价于应用于运动粒子的莫培督原理，粒子可能的运动轨迹等同于相位波的射线

而后作者为这一结论提供了三个例子，分别为自由粒子运动，电子在电场运动和电荷在一般的电磁场中的运动来进一步给出相位波与粒子运动规律上的一致性。

4.第三，四章：轨迹的量子稳定性条件与两体运动的量子化条件

作为新生的物理理论，除了要能推导并构造出全新的物理现象，同时也要能解释原有的实验现象。对于1923年前的量子理论，最为成果的理论应用就是成功解释单电子原子光谱的离散分布。

在之前的量子理论中，波尔采用了电子绕原子核做圆周运动的经典图像，外加上他有名的量子化条件：（此处英译版有误，原文无误）

对此条件，索末菲与爱因斯坦逐步改进该条件为以下的参考系不变形式：

上述理论阐述的图像最大问题为电子运动的稳定性问题，集中在电磁辐射上。因为根据经典电动力学，由于圆周运动而具有加速度的电子会不断向外辐射能量，最终会坠入原子核。为解决这个问题，作者在3.2中将自己的物质波模型用于上述的量子化条件中，首先作者将电子的物质波动与水波在河道的传播做了类比：因为水波在沿河道纵向传播的过程中，也会在横向于河道的边界形成驻波，这恰好与电子随原子核的整体运动和相对原子核的运动相对应。所以作者大胆地提出了他的驻波条件：（l为电子轨道长度，为电子波长）

以及相应的积分形式：

，同时电子运动圆周长度整理后立刻可得波尔的量子化条件。

当然，该理论也不是完美的，作者在完成推导后指出该理论存在没有描述电子跃迁运动过程的理论空白，也就是缺少描述物质和电磁相互作用的波动方程。这一结论直接点明了后续量子力学以及量子电动力学的正确研究方向，即研究量子波与场的方程。此观点是本文最重要的成果之一，至今为止，量子场论与标准模型的理论体系依然沿用了这个研究方向。

后续作者又将驻波条件的积分形式用在了电子和原子核的两体运动中，并用精巧的坐标系变换得出了波尔在二体运动中的量子化条件，进一步说明了物质波模型的正确性。

5.第五章：光量子

黑体辐射作为量子观念的起源，物质波模型也应给出其对应的合理解释。

能量的光原子，应具有的动质量。但是该假设的成立建立在光原子没有静质量上，于是作者先做出光原子具有一个很小静质量的假设，在该假设中，由可以得出相应光原子速度为：（注意这时光原子理解与现在理论存在偏差，这里的光原子更接近于发光的光源粒子）

克，对于以下光子性质分析而言有时是可以忽略不计的。

（其中）运动的光原子，在固定不动的观察者来看，光原子发光的频率变为，速度变为。

。

为二阶小量，所以可略，得：，

很小（实际微观不可能，但宏观发光体可以），则上式可以退化为经典的多普勒公式，

运动的观察者看到光源发射了n个频率为的光原子在单位面积上，这样对于该观察者而言，光强则为。

，，同时光子所填充的体积变为(横截面积不变，光子和光原子做追击问题运动)

（此处英译版有误，原文无误）

，该结论与经典电磁波理论一致。

为0的极限得出光子能量与动量比为光速的。

6.第六章：X和γ射线衍射

在本章作者给出了电子波动性的关键实验证据——X射线衍射。

首先，作者阐述了汤普孙在X射线衍射实验中得到的实验定律：

（1）观察者以相对于入射方向衍射角观察射线，得到的能量正比于

为电子电荷和质量且c为光速。

上述式子中，作者于6.2中介绍的德拜理论已经用合理的电子模型导出了上述的实验公式，其关键就是布拉格父子提出的模型：将X射线照射的晶体原子看作射线的次波源，并向各个方向衍射，于原射线形成相干叠加。这个模型在电子的物质波模型中得出了自然的解释，同时射线波长就是所对应的电子物质波波长。

但是上述光强比公式在高能实验上逐渐失效，作者将失效原因归结为随着电子的能量逐渐增加，电子的波动波长越来越短导致衍射辐射的不对称性更加明显，这时就必须考虑电子产生的光子辐射，也就是γ射线辐射。

为处理γ射线辐射，作者介绍了康普顿散射的理论模型，在该模型中，光对电子的作用处理成了静止电子和一个光子的弹性碰撞，因此电子吸收了部分来自光子的动能，使得散射的光子能量降低，波长增长。该理论结果与实验一致，证实了光子概念的实在性。

7.总结与讨论

本文在历史上最重要的成就就是提出了物质的波动性，这一概念直击量子态线性性质的本质，并且给出了准确的量子理论研究方向，就是得出物质的波动方程和相互作用的场理论。在1923年之前，以波尔理论为首的旧量子论在1913年后就没有实质的理论发展了，但在德布罗意提出物质波之后，海森堡薛定谔和狄拉克相继提出电子的波动方程，量子力学直接进入了真正的黄金时代，并且描述微观的电动力学的缺失促使人们率先发展了量子电动力学理论，而该理论迄今为止也是人类最为精确的自然科学理论。本论文在上述成果的建立起到了不可替代的推动作用，可以本文对于量子力学的重要性堪比爱因斯坦等效原理对于广义相对论，法拉第的场和电磁感应对于经典电动力学，爱因斯坦评价其掀开了庞大面纱的一角，在现在看来可以说是非常直接本质的评价了。

从后来人们的眼中看过去的理论，就会时常对理论发展者产生水平的误判，这些误判时常是来自对历史背景和过往理论的无知。拿本文提出的电子衍射实验为例，这个实验至今也被广泛用于测量固态晶体的各种空间性质（比如晶格常数）。同时它也在理论上精准把握了电子的波动性，因为不会有其他物质形式在这个实验中可以产生衍射。这两点经常会被很多不熟悉量子理论的人所低估，其原因就是不了解100年前人类实验能力的局限性和可以衍射意味着一定有波动性这一逻辑的精确有力。

本文的主要参考资料：

德布罗意论文法语原版：https://theses.hal.science/tel-00006807/document

英语翻译版：https://fondationlouisdebroglie.org/LDB-oeuvres/De_Broglie_Kracklauer.pdf