【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第二章导数和微分——二、求导方法 

§2-7复合函数的导数

【01】我们先看一个例子。设已知 y＝(3x－2)²，

【02】那么，y'＝[(3x－2)²]'＝(9x²－12x＋4)'＝18x－12  。

【03】函数 y＝(3x－2)² 又可以看成由 y＝u²，u＝3x－2 复合而成的。

【04】由于 y'u＝2u，u'x＝3，

【05】因而 y'u·u'x＝2u·3＝2(3x－2)·3＝18x－12  。

【06】于是在本例中，我们有等式 y'x＝y'u·u'x  。

【07】一般地，设函数 u＝φ(x) 在点 x 处有导数 u'x＝φ'(x)，函数 y＝f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y'u＝f'(u)，则复合函数 y＝f[φ(x)] 在点 x 处也有导数，且

【08】或写作   。

【证明】

【09】设 x 有一改变量 △x，则对应的 u、y 分别有改变量 △u、△y  。因为 u＝φ(x) 在点 x 处可导，所以 u＝φ(x) 在点 x 处连续。因此当 △x→0 时，△u→0  。设 △u≠0【△u＝0 时公式也成立，证明从略】，

【10】这就是复合函数的求导法则，即：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

【11】这个法则可以推广到两个以上的中间变量。例如，如果 y＝y(u)，u＝u(v)，v＝v(x)，那么有y'x ＝y'u·u'v·v'x  。

例1.求 y＝(2x＋1)⁵ 的导数。

【解】

设 y＝u⁵，u＝2x＋1  。

根据复合函数求导法则，有

【注意】在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数。

例2.求 y＝1／(1－3x)⁴ 的导数。

【解】

y＝1／(1－3x)⁴＝(1－3x)⁻⁴  。

设 y＝u⁻⁴，u＝(1－3x)，则

例3.求 y＝sin²(2x＋π/3) 导数。

【解】

设 y＝u²，u＝sinv，v＝2x＋π/3，

【12】求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，适当选定中间变量，明确每次是哪个变量对哪个变量求导数。在熟练以后，就不必再写出中间步骤。如以上三例可分别直接写成

【13】对经过多次复合及四则运算而成的复合函数，也可利用复合函数的求导法则，由外向里，逐层求导。

例4.求 y＝(at一bsin²ωt)³ 对 t 的导数。

【解】

熟练以后，也可省去中间步骤，直接写成

【14】在2-12节我们将要证明，公式  对一切实数 α 都成立。现在先运用这个公式和复合函数的求导法则来求一些无理函数的导数（中间步骤省略不写）。

例5.求  的导数。

【解】

例6.求 y＝(2x²－3)√(1＋x²) 的导数。

【解】

练习

1、把下列函数看成由一些比较简单的函数复合而成的，写出它们的复合过程：

2、按例1中的步骤，对下列函数，先设中间变量，然后求导：

3、填空：

4、求下列函数的导数：

习题五

1、求下列函数的导数：

2、已知 u，v，ω 是 x 的可导函数，求证 (uvω)'＝u'vω＋uv'ω＋uvω'  。

3、求下列函数在指定点处的导数：

(1) y＝x sinx 在点 x＝π/4 处；

(2) y＝(2－3x²)／(1＋2x) 在点 x＝1 处。

4、求正弦函数 y＝sinx 在点 (π/6，1/2) 处的切线方程和法线方程。

5、巳知曲线 y＝x³＋3x，求这条曲线平行于直线 y＝15x＋2 的切线的方程。

6、已知曲线 y＝2x³＋3x²－12x＋1，求这条曲线的与 x 轴平行的切线的方程。

7、已知曲线 y＝x³＋x²－1，在曲线上哪一点处作切线，它的倾斜角等于 45°？求在这点处的切线和法线的方程。

8、已知函数 f(x)＝x²(x－1) 当 x＝x₀ 时有 f'(x₀)＝f(x₀)，求 x₀ 的值。

9、已知两个作直线运动的物体的运动方程 s₁(t)＝(1/3)t³ 及 s₂(t)＝20t－4t²（t ≥ 0），在什么时刻它们运动的速度相等？

10、在直线轨道上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后 t 秒内列车前进的距离 s＝27t一0.45t²（单位是米）。这列车在刹车后几秒钟才停车？刹车后又运行了多少米？

11、求下列函数的导数：

12、把下列函数看成由一些比较简单的函数复合而成的，写出它们的复合过程：

13、对下引函数，先设中间变量，然后求导：

14、求下列函数的导数：

15、求下列曲线在指定点 M 处的切线和法线的方程：

16、把 y＝u/v（其中 u，v 都是 x 的函数，v≠0）改写成 y＝uv⁻¹，利用积的求导法则和复合函数的求导法则，导出商的求导法则 (u/v)'＝(u'v－uv')／v²  。