一、锯齿波

  这是一个周期锯齿波行，周期为 2π，幅度为 π，关于原点为奇对称。它的傅里叶级数，可以通过一个周期内的积分计算而得。这个积分分为两项。前面这部分，是周期信号正周期内的积分，取值为 0。后面积分项，可以通过分部积分进行计算。将指数部分移到微分项内。根据分部积分法，分为两项，后面部分的积分仍然为 0。前面这部分，经过计算，它的取值为 j n 分之一。由此，可以得到周期锯齿波的傅里叶级数分解的形式。如果将他乘以 j，变成纯虚信号。对应的级数分解的形式更加简洁。下面，我们利用这个公式，绘制有限项傅里叶级数叠加的信号。

▲ 图1.1.1 周期锯齿波形

二、有限项傅里叶级数之和

  将小于 N 之内的谐波进行叠加，可以获得原来信号的近似波形。这个叠加结果是一个纯虚信号。如果将右边一半进行叠加，所获得的信号是一个复数信号。这里绘制钱100项的叠加结果，由于信号与吧间断点。叠加信号在间断点前后有过冲。这个过冲的赋值随着叠加项数的增加，逐步趋向于一个常熟。并不衰减。这个现象被称为吉布斯现象。

▲ 图1.2.1 前N项傅里叶级数叠加后的结果

  下面，分别绘制出半边有限项傅里叶级数叠加的实部和虚部。虚部是锯齿波的一半。实部，似乎在 t=0 处的幅度一直在增加，虽然增加的速度越来越慢，但究竟是会收敛，还是会发散呢？ 根据定义， 在 t=0 处，随着项数趋向于∞，叠加信号的实部会发散。 由此我们可以看到，如果是双边有限项的叠加，在 t=0 处，信号会收敛。但是如果叠加半边的有限项傅里叶级数，在 t=0 处，信号居然会发散。

▲ 图1.2.2 右边傅里叶级数项叠加之后的实部和虚部

※ 总  结 ※

  本文讨论了锯齿波行的傅里叶级数有限项之和信号收敛的问题。 如果是对称的有限项叠加，在 t=0 处信号不会发散。但是如果只叠加半边的有限项，信号在 t=0 处会发散。这是信号分解中的对称破缺现象。