【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。  

第五章坐标变换和二元二次方程的讨论

§5-4坐标轴的旋转

【01】在5-1节里，讲到关于直角坐标轴的平行移动，在这一节里我们要讲到直角坐标的另一种变换方法，它是原点和轴上的长度单位不变而只改变坐标轴的方向。

【02】我们所说的改变坐标轴的方向，指的是两个坐标轴按同一方向同时旋转过同一个角度，这种方法称为坐标轴的旋转；简称转轴。在讨论转轴以前，让我们先举一个实际例子来说明它的作用。

【03】在第四章4-11节我们知道，xy＝k    (1)    是等边双曲线方程，以原点为对称中心，x－y＝0 及 x＋y＝0 为它的两条对称轴，又 x 轴及 y 轴为两条渐近线，如下图（当 k＞0 时，曲线在第Ⅰ及第Ⅲ象限内）。今以 x 轴按反时针方向旋转过 45° 到 Ox' 位置，同时把 y 轴也按反时针方向同样转过 45° 到 Oy' 的位置，显然 Ox'，Oy' 则互相垂直。

【04】如以 x'Oy' 则作为新的坐标系来考虑，可以看出两个新坐标轴，即 x' 轴和 y' 轴是曲线的两个对称轴，原点没有变动，当然还是对称中心。从第四章我们已经知道双曲线对于这新坐标系的方程应当是 x'²－y'²＝k'，    (2)

【05】它是等边双曲线的标准方程（因为焦点在 x' 轴上，所以 k'＞0），由于坐标轴的旋转，方程(1)变换为方程(2)的形式，方程(1)有 xy 项，而方程(2)没有 xy 项。在上一节里，我们看到在平面内一个二元二次方程的图象通过移轴，图象的形状、大小根本没有变动，所变动的只是它对于旧的和新的两组坐标轴的相关位置。相应地这方程的两个变数由于移轴变换，方程的若干项系数有了变动。一个二元二次方程，通过移轴的变换，只变动它的一次项系数和常数项，但通过转轴，所影响到的系数就不止一次项及常数项了。现在我们就来研究在通过转轴之后，平面内的一点关于旧的和新的两坐标系的两组坐标间的关系，并且讨论一个方程在经过转轴以后，各项系数的变化情况，使能掌握它来化简方程。

1、坐标轴的旋转公式

【06】设平面内有一点 P，对于原坐标系 xOy 它的坐标是 (x，y)，今把 x 轴和 y 轴同时按反时针方向转过同一个角度 θ，Ox 转到 Ox' 的位置，Oy 转到 Oy' 的位置，Ox' 和 Oy' 构成新坐标系 x'Oy'  。

【07】如图5·9，∠xOx'＝θ，∠yoy'＝θ  。

【08】设点 P 关于新坐标系 x'Oy' 的坐标是 (x'，y')，今假定 | OP |＝ρ，∠x'OP＝Φ，

【09】则     (1)

【10】又

【11】从(1)式 ρ cosΦ＝x'，ρ sinΦ＝y'，代入上式得

    (2)

【12】(2)式叫做坐标轴的旋转公式（简称转轴公式），θ 叫做旋转角，θ 的值一般可在 0 与 2π 之间，但在方程化简过程中为了方便起见，限定它是锐角，即 0＜θ＜π/2，就是说新轴是按照反时针方向旋转，并不超过一直角，也不等于一直角。因为假定 θ 是一直角，那就等于 x 轴转到 y 轴，对方程的化简毫无帮助。又假使 θ＞π/2，如 θ＝π/2＋θ'（0＜θ'＜π/2），实际上转到 θ' 就可以了，没有转过大于 π/2 角的必要。

例1.在 xy＝6 中，把两轴同时按反时针方向旋转 45°，求对新坐标轴的新方程。

【解】

∵ θ＝45°，∴ sin45°＝1/√2，cos45°＝1/√2，代入转轴公式，

，

就是 x'²－y'²＝12  。

它是我们所熟悉的等边双曲线方程，图见5·8  。

通过转轴，适当选择 θ 角，可以把一个方程化简，见下例。

例2.在 13x²－10xy＋13y²＝72 中，把坐标轴旋转过 45°，求它的新方程并描它的图象。

【解】

    (1)

代入原方程得

，

整理后得

，    (2)

就是 4x'²＋9y'²＝36  。    (3)

如图5·10，它是一个椭圆。

【注1】用新方程在新坐标系作图，原轴与新轴应当同时画出，以便对照。又原坐标轴和新坐标轴的单位长度必须相同。

【注2】观察上面图形，可以看到两个新坐标轴是各自与曲线的两个对称轴相合的。

【注3】一个方程通过轴的旋转变换，它的常数项是相对不变的，如上面例2中，在(3)式之前，它的方程中的常数项一直是 72  。又例1中，在两边未乘 2 以前，常数项一直是 6  。

2、转轴公式的应用

(1) 已知一点对原坐标系的坐标，通过转轴公式可以求到它对新坐标系的坐标。反过来，已知一点对新坐标系的坐标，通过这个公式也可以求到它对原坐标系的坐标（见下例）。

(2) 在一个方程 F(x，y)＝0 中，以转轴公式把变数 x，y 变换成变数 x'，y'，就得到对新坐标系（两轴同时转过 θ 角）的方程 f(x'，y')＝0，两个方程表示同一个图形（见上面例1，例2）。怎样利用转轴来化简一个方程，将在下节讨论。

例3.有一点 (2√5，－3)，当两轴转过角 θ （θ＝arctg(1/2)）时，求这点对新坐标系的坐标。

【解】

∵ θ＝arctg(1/2)，

∴ tgθ＝1/2，

即 sinθ／cosθ＝1/2，

，

因 0°＜θ＜90°，则 sinθ，cosθ 都是正值，

∴ sinθ＝1/√5，cosθ＝2/√5，

解上面方程组得 x'＝4－3/√5，y'＝－2－6/√5  。

所以这点对新标系的是 (4－3/√5，－2－6/√5)  。

例4.在前题中，有一点对新坐标系的坐标是 (4－3/√5，－2－6/√5)，求它对原坐标系的坐标。

【解】

由转轴公式得

∴ x＝2√5，y＝－3  。

因此这点对原坐标系的坐标是 (2√5，－3)  。

练习

1、设旋转角 θ＝π/4，下列各点对新坐标系的坐标为 (－2，1)，(3√2，－4/√2)，(0，0)，分别求它们对原坐标系的坐标。

2、设旋转角 θ＝π/6，下列各点对原坐标系的坐标为 (－2，1)，(－(1＋2√3)／2，(－2＋√3)／2)，(0，0)，求它们对新坐标系的坐标。

3、按照所给的角 θ 转轴，变换下列各方程并描第(2)及第(4)题的图：

(1) x－y＝0（θ＝90°）；答：x'＋y'＝0  。

(2) 13x²＋10xy＋13y²＝72（θ＝45°）；答：9x'²＋4y'²＝36  。

(3) 3x²－4√3 xy－y²＝6（θ＝60°）；答：3x'²－5y'²＝0  。

(4) x²－y²＝8（θ＝π/4）。答：x'y'＋4＝0  。