【格物致知·代数】5-2-18本章复习（导数和微分）『微积分初步』
【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。
第二章导数和微分
小结
一、本章主要内容是导数和微分的概念、求导数和求微分的方法以及微分在近仪计算上的某些应用。
二、导数概念是徽积分学的基本概念之一。函数 y＝f(x) 的导数 f'(x)，就是函数的改变量 △y 与自变量的改变量 △x 的比 △y／△x 当 △x→0 时的极限，
，
它表示在点 x 处函数 y 对自变量的变化率，它的几何意义是曲线 y＝f(x) 在点 (x，f(x)) 处的切线的斜率。
如果 f'(x₀) 存在，曲线 y＝f(x) 上点 (x₀，y₀) 处的切线的方程为 y－y₀＝f'(x₀)(x－x₀)；
。
三、函数 y＝f(x) 的微分 dy 就是函数的导数 f'(x) 与自变量的微分 dx（dx＝△x≠0）的积，
即 dy＝f'(x)dx 。
求函数 y＝f(x) 的导数 f'(x) 与求函数的微分 f'(x)dx 是互通的，
，
所以导数也叫做微商。
四、求函数的导数或微分的方法叫做微分法。根据定义求导数是最基本的方法。对初等函数来说，只要根据定义先求得一些基本初等函数的导数，再利用求导数（或微分）的四则运算法则以及复合函数、反函数的求导（或微分）法则，就可以求出任一初等函数的导数（或微分）。这里，复合函数的求导法则特别重要，应切实掌握。
五、根据微分的定义及其几何意义，有下列近似公式：
△y≈f'(x)△x（| △x | 很小），
f(x)≈f(x₀)＋f'(x₀)(x－x₀)（| x－x₀ | 很小） 。
利用这些公式，可以求出函数的改变量或在某一点处的函数值的近似值。
特别当 x₀＝0 时，有 f(x)≈f(0)＋f'(0)x（| x | 很小）。
由此可以导出一些常用的近似公式，从而使实际问题中的一些计算大为简化。
复习参考题二
A组
1、
的 △x 是正的还是负的？还是可正可负？
的 △x 呢？
的 △x 呢？
与
及
之间有什么关系？
(2) f'(x) 和 f'(x₀) 有什么不同？f'(x₀) 与 [f(x₀)]' 有什么不同？
2、一质点沿 OA 轴运动，在时刻 t（秒）时，质点的位置 s＝6t－t²（米）。
(1) 求 t＝0，2，3，6，7 时质点的位置。当 s 取负值时意味着什么？
(2) 求速度 v（米/秒）的表示式，并求 t＝0，2，3，6，7 时的 v 值。v 值为负时意味着什么？
(3) 什么时刻以后，质点改变运动的方向？
3、在受到制动后的 t 秒钟内飞轮转过的角度（弧度）由函数 φ(t)＝4t－0.3t² 给出，求：
(1) t＝2（秒）时，飞轮转过的角度；
(2) 飞轮停止旋转的时刻。
4、假设 1 公斤的铁从 0°C 加热到 t°C（0≤t≤200）时，所吸收的热量 Q（千卡）由公式 Q(t)＝0.1053t＋0.000071t² 确定，求 t＝50 时铁的比热 C 。（提示：比热C＝Q'(t)千卡/公斤·度）
5、已知抛物线 y＝x²－4 及直线 y＝x＋2，求直线与抛物线在交点处的切线的交角。
6、已知两曲线 y＝x²－1 与 y＝1－x³ 。
(1) 这两曲线在横坐标为 x₀ 的点处的切线互相平行，求 x₀ 的值；
(2) 这两曲线在横坐标为 x₁ 的点处的切线互相垂直，求 x₁ 的值。
7、按定义求 y＝tgx 的导数。
8、求下列函数的导数：
9、求下列函数的导数：
10、一金属圆盘受热膨胀，它的半径以 0.01厘米/秒 的速度均匀增大，当它的半径等于 2 厘米时，它的面积的增大速度是多少？（提示：圆面积 S＝π r²，把 S 和 r 都看成 t 的函数）
11、求证抛物线 √x＋√y＝√a 上任意一点处的切线在两坐标袖上裁距的和等于 a 。
12、求垂直于直线 2x＋4y－3＝0 并与双曲线 x²/2－y²/7＝1 相切的直线的方程。
13、某运动物体由点 O 开始作直线运动，经过 t 秒后它和点 O 的距离为 s＝(1/4)t⁴－4t³＋16t² 。
(1) 此物体什么时刻在 O 点（即 s＝0）？
(2) 什么时刻它的速度为 0？
(3) 什么时刻它的加速度值为 11？
14、求下列函数的二阶导数：
15、求下列函数 y 在指定点处的一阶导数及二阶导数：
16、一物体作阻尼运动，运动规律为
，
求运动物体的速度和加速度。
17、求下列函数的徽分：
18、设 y＝cos²φ，当 φ 从 60° 变到 60°30' 时，求函数 y 的微分。
19、单摆的周期 T（秒）与单摆的长度 l（厘米）之间，
。
长度为 20 厘米的单摆加长 1 厘米后，它的周期大约增加多少？
20、利用近似公式 f(x)≈f(x₀)＋f'(x₀)(x－x₀) 求下列各式的近似值：
(1) sin29°；
(2) arctg0.97 。
21、当 | x | 很小时，导出下列近似公式：
22、计算下列各式的近似值：
(1) ³√1.02；
(2) 1／√99.5
(3) log1.010.997 。
23、已知 f(x)＝x／√(x²＋9)，求 f(0.03) 的近似值。
24、如图，一透镜的凸面半径是 R，口径是 2h（h 比 R 小得多），厚度是 δ 。
B组
25、证明双曲线 xy＝a（a 为不等于零的常数）上任意一点处的切线和坐标抽所构成的三角形的面积等于 2 | a | 。
26、设函数
为了使 f(x) 在点 x＝1 处连续而且可导，应该怎样选取系数 a，b？
27、把 y＝arcsinx 变形为 x＝siny，利用隐函数的求导法则，证明：
。
28、一质量为 3 公斤的物体挂于弹簧的下端，在 O 点上下振动，振动规律为 x＝10sint 。求振动过程中的最大动能。（位移单位为厘米，时间单位为秒）
29、一倒置圆锥形的容器，它的轴截面是一等边三角形，以每秒 100 立方厘米的速度往容器内加水，求当水面高度为 20 厘米时水面上升的速度。（提示：先写出容器内水的体积与水面高度的函数关系）
30、从上口直径为 12 厘米，深为 18 厘米的锥形漏斗中流出溶液，当液面高度从 10 厘米下降到 9.8 厘米时，求流出溶液的容积的近似值。