QFT#8 再算相互作用场论（上）
第一次学习这一部分的时候，不能说算明白了。很多地方都跳了。
从头走一遍流程，力图做到清晰完整。
希望达到的一个效果是，如果很多年后我忘完了怎么推，自己回来看能看明白。
相互作用绘景
还是从绘景说起。相互作用场论要解决的场景，一般哈密顿量是
前一部分属于自由粒子的部分，后一项则包含相互作用的信息。注意这一项会含时，同时[V,H0]是否为0没有任何限制，在处理exp(iHt)等计算时需要谨慎处理！
而为了关注相互作用部分的影响，就定义相互作用绘景的波函数：
这样，相互作用绘景的态演化将只由相互作用项决定：
*注意这里V也是相互作用绘景的，要按上面的算符变换规则确定，不是原来的V(t)：
例1：场算符平面波展开为产生湮灭算符的形式
自由场论的内容了，不多解释，去年的专栏也有写。
这个形式的场算符其实就是相互作用绘景的场算符，同时也是Heisenberg绘景的，这是因为对于自由粒子H0就是H.
,
从而根据一些数学定理 (可参考喀兴林《高量》2-2-例2) 可得
其中a_p本身是时间无关的，它是湮灭算符在薛定谔绘景的表示，那么左边的形式恰好就是从薛定谔绘景到相互作用/海森堡绘景的变换，进而考虑到
.
产生算符那边也一样。这样，证明了场算符的时间依赖项全部由H绘景的产生湮灭算符携带，所以这个场算符形式直接就是H绘景，也是相互作用绘景的表示。
这样，论证了前面自由场论里的场算符形式在相互作用绘景下可以直接使用。
例2：和海森堡绘景的变换关系
那么相互作用态矢和海森堡的态矢关系为
再次提醒了大家，V和H0一般都是不对易的，不能想当然简单求解相互作用。
S矩阵
我们希望用相互作用场论处理这样的场景：若干粒子由-∞时间从远处进入，发生相互作用，最后在+∞时间出射到无穷远。
我们希望以理论计算从已知初态进入给定末态的振幅，这将是能通过实验验证的可观测量。
这个振幅由S矩阵描述，定义为
其中 i 是系统初态，f 是给定的末态。均在相互作用绘景。
通过计算S矩阵的具体结果，我们应当能够预期系统发生散射后，探测到各种末态的概率，进而以实验去验证。终于，量子场论到这里要算出一些可观测的可验证的东西了。
于是，要求具体的S矩阵元，就是要在相互作用绘景下，计算S算符。S算符将初态按理论的相互作用势演化到末态：
把前面相互作用绘景下的运动方程写成这个形式：
然后反复迭代，这个技巧为Dyson级数：
后面各项的多重积分区域不好计算，需要处理一下。在此引入时序乘积标记T，把积分区域转化为全空间：
其中时序乘积意为将括号里所有含时算符按时间从大到小重新排列。进而可以紧凑地写成
计算不变振幅
到这里，几乎所有的教材都会在这里开始讲Wick定理，这是为了处理后面那一堆带时序乘积的积分，有的书讲完还再讲一圈费曼传播子，但是这样打断了推导的流畅性，初学学到这里，顺着作者思路去看Wick定理，然后回来已经忘了自己本来该干什么了。
所以暂时跳过一些内容，只要记住，所有你想算的东西，都会有办法算的，关键是不要跟丢了最初的目标。
我们要算：
很多时候，上式会如此进行展开：
前一项是平凡的，后一项则反映了相互作用的性质。后一项中，前面的四维δ函数则是为了反映散射前后的4动量守恒，后面的M称为不变振幅，所以计算散射的关键就是计算M。
其中，S算符前面已经推出有以下形式
相互作用理论有很多，但总是多个算符之积的形式。例如最简单的标量场自相互作用(phi-4理论)，
λ是phi-4相互作用的耦合常数，在S算符的级数展开中，每一项会多一个λ，显然如果进行微扰展开，第几项就是几阶近似。
那么初态、末态是什么？一般来说，我们应当预期在远处，我们的理论会退化为自由场理论，因为所有粒子都互相远离。再具体一点，考虑2→2散射，入射动量p1p2，出射动量k1k2，那么初态末态可以用产生算符构造：
那么理论上，用初态和末态夹上中间的散射矩阵元，每一项最终到计算时总归是计算这样的形式：
我们知道这一定是可以解决的，只要反复利用
因为中间那一串场也总是可以展开为产生和湮灭算符带上平面波，把产生算符一个个交换到左边，湮灭算符一个个交换到右边，最后碰到外边的真空湮灭，这就解决了。
当然在算高阶矩阵元的时候就太麻烦了，所以这里就要用Wick定理化简。为了连贯性这里不加证明地给出Wick定理：
其中N是正则排序，强行把所有湮灭算符放到产生算符的右边：
而两算符的缩并(contraction)定义为它们的费曼传播子
可能有点抽象，Wick定理的一个具体的例子是这样：
看起来好像更多项了，但是因为正则排序把所有产生湮灭算符都排好了，只要碰到最外面夹着的真空态就会湮灭，一下子解决了很多项，只留下了全是缩并的项，而费曼传播子我们算过了：
这样理论上总能搞定了。
费曼规则
看起来前面我们使尽毕生所学算是知道怎么算散射的不变振幅了，但是还就真有天才，还能简化这些过程。这位天才正是费曼。
他发明了一套流程，可以把上面所有的计算转化为：
1. 根据散射过程画出对应的费曼图
2. 费曼图的每个“配件”对应一个费曼规则
3. 全部乘起来就能得到这个图的振幅
4. 总的振幅就是满足给定的初末态的所有费曼图振幅之和
具体怎么推，准备另开一篇写，要不然太长了。
（待续）