【格物致知·代数】5-4-01原函数『微积分初步』
【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。
第四章不定积分
§4-1原函数
【01】假设已知物体运动的路程函数 s＝s(t)，
【02】把路程函数对时间求导数，就得到速度函数 v(t)，即 s'(t)＝v(t) 。
【03】在实践中，也需要解决相反的问题：已知物体运动的速度函数 v(t)，如何求路程函数 s(t) 。一般地说，已知某个函数的导数，如何求这个函数。下面我们就来研究这类问题。
【04】设 f(x) 是定义在区间Ⅰ上的一个函数，如果存在函数 F(x)，在区间Ⅰ上任何一点 x 处都有 F'(x)＝f(x)，那么 F(x) 叫做函数 f(x) 在区间Ⅰ上的一个原函数。
【05】根据定义，求函数 f(x) 的原函数，就是要求一个函数 F(x)，使它的导数 F'(x) 等于 f(x) 。
例.求出下列函数的一个原函数：
(1) f(x)＝3x²；
(2) f(x)＝cosx 。
【解】
(1)
∵ (x³)'＝3x²，
∴ x³ 是函数 3x² 的一个原函数；
(2)
∵ (sinx)'＝cosx，
∴ sinx 是函数 cosx 的一个原函数。
【06】已知函数 f(x) 有一个原函数 F(x)，函数 f(x) 是否还有其他原函数？我们看下面的例子。因为(x²)'＝2x，
(x²＋1)'＝2x，
(x²－1)'＝2x，
【07】所以 x²，x²＋1，x²－1 都是函数 2x 的原函数。设 C 为任意常数，由于 (x²＋C)'＝2x，
【08】便知 x²＋C 也是函数 2x 的原函数。
【09】一般地，有下面的定理：
【10】定理.设 F(x) 是函数 f(x) 在区间Ⅰ上的一个原函数，对于在意常数 C，则
(1) F(x)＋C 也是 f(x) 的原函数；
(2) f(x) 在区间Ⅰ上任何一个原函数都可以表示成 F(x)＋C 的形式。
【证明】
(1)
【11】因为 [F(x)＋C]'＝F'(x)＝f(x)，
【12】所以 F(x)＋C 也是函数 f(x) 的原函数。
(2)
【13】设 Φ(x) 是 f(x) 在区间Ⅰ上的任一原函数，
【14】则 Φ'(x)＝f(x) 。
【15】∵ F'(x)＝f(x)，
【16】∴ [Φ(x)－F(x)]'＝Φ'(x)－F'(x)＝f(x)－f(x)＝0 。
【17】已知在某区间Ⅰ上导数恒等于零的函数必为常数，
【18】由此得到 Φ(x)－F(x)＝C，
【19】即 Φ(x)＝F(x)＋C（C 为常数）。
【20】也就是，函数 f(x) 的任一原函数 Φ(x) 都可表示成 F(x)＋C 的形式。
