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IZE 6列小鬼对5列植物过率

作者:smr_romance发布时间:2024-10-25

本文主要是针对专栏  https://www.bilibili.com/read/cv28198810 的修正。专栏中思路都是对的,只是没考虑初次攻击分布,以及一些小细节存在问题。并且该作者已经进行了修正,只是一直没有更新该专栏。


几个需要知道的前提:

  • T_e 是392cs。

  • 以5列单发为例,于0cs释放的小鬼,第一次触发‘发射子弹倒计时’的所用时长是2-151cs,服从初次攻击分布

  • T_l,对于豌豆射手而言 T_l%3D35,并且l_cd从2减到1的那一cs,子弹被发射。

  • %5B136%2C150%5D 中的随机整数,服从均匀分布。

此处以全部随机到最短时间为例,详述单发打死小鬼的过程(进行了一定简化):

  • 第0cs:放置小鬼,此时以1/143概率遇到植物的g_cd=2。

  • 第2cs:植物g_cd=0,并立刻以1/15概率重置为g_cd=136,且赋值l_cd=35。

  • 第36cs:植物g_cd=102,l_cd=1,于是第一发子弹打出。

  • 第138cs:植物g_cd=0,于是立即以1/15概率重置为g_cd=136,且赋值l_cd=35。

  • 第172cs:植物g_cd=102,l_cd=1,于是第二发子弹打出。

  • 第274cs:植物g_cd=0,于是立即重置为g_cd=a且赋值l_cd=35。

  • 第308cs:植物g_cd=a-34,l_cd=1,第三发子弹打出,且小鬼‘(可以视作)死亡’。

如果第三发子弹打出的时间刚好是第392cs,就会出现单发与小鬼同时死亡的情况。

其他植物原理是类似的。

x_1 + 第一次重置到的g_cd x_2 + 第二次重置到的g_cd x_3+ (35 -1) ,只要这个值大于等于393,那么小鬼就能通过。如果这个值等于392,就是同归于尽。

豌豆射手的初次攻击分布(第三种表述)

P_a%5C%7BX%3Dx%5C%7D%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B143%7D%26%2C2%5Cle%20x%5Cle%20137%20%5C%5C%5C%5C%0A%5Cfrac%7B152-x%7D%7B2145%7D%26%2C138%5Cle%20x%5Cle%20151%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A

每次重置服从的均匀分布

P_s%5C%7BX%3Dx%5C%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B15%7D%2C%5Cquad%20136%5Cle%20x%5Cle%20150

现在就是求

%5Csum_%7Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%2BT_l-1%5Cge%20T_e%2B1%7DP_a%5C%7BX%3Dx_1%5C%7DP_s%5C%7BX%3Dx_2%5C%7DP_s%5C%7BX%3Dx_3%5C%7D

的值。


对于豌豆射手而言这个问题可以写成这样:

%5Csum_%7Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%5Cge%20359%7DP_a%5C%7BX%3Dx_1%5C%7DP_s%5C%7BX%3Dx_2%5C%7DP_s%5C%7BX%3Dx_3%5C%7D

P_s,不妨将它们合成一个,此处不显式给出它的表达式 P_%7Bss%7D%5C%7BX%3Dx%5C%7D ,而是用更直观的方法,类似直积形式写成方阵:

P_%7Bss%7D%3A%5Cquad%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A272%26273%26274%26%5Ccdots%26286%5C%5C%0A273%26274%26%26%26%5Cvdots%5C%5C%0A274%26%26%5Cddots%26%26298%5C%5C%0A%5Cvdots%26%26%26298%26299%5C%5C%0A286%26%5Ccdots%26298%26299%26300%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%0A

%5Cfrac%7B1%7D%7B15%5E2%7D.

P_%7Bss%7D 每个元素对应的满足条件的 P_a 的概率求出,并将对应概率相乘,最后整体求和,即得到所求最终概率。

%5Cfrac%7B1%7D%7B15%5E2%7D,那么相应地第一次攻击时长 x_1必须大于等于87,又很容易知道第一次攻击满足条件的概率等于

%5Csum_%7Bx%3D87%7D%5E%7B151%7DP_a%5C%7BX%3Dx%5C%7D%3D1-%5Csum_%7Bx%3D2%7D%5E%7B86%7DP_a%5C%7BX%3Dx%5C%7D%3D1-%5Cfrac%7B85%7D%7B143%7D%3D%5Cfrac%7B58%7D%7B143%7D

%5Cfrac%7B2%7D%7B15%5E2%7D,那么第一次攻击时长必须大于等于88,同理知道第一次攻击满足条件的概率  %5Cfrac%7B59%7D%7B143%7D.

……

%5Cfrac%7B1%7D%7B15%5E2%7D,第一次攻击时长大于等于59,满足条件的概率%5Cfrac%7B86%7D%7B143%7D.

于是可以将所求写为:

%5Cfrac%7B1%7D%7B143%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B15%5E2%7D%5Cleft(1%5Ccdot58%2B2%5Ccdot59%0A%2B%5Ccdots%2B15%5Ccdot72%2B14%5Ccdot73%2B%5Ccdots%2B1%5Ccdot86%5Cright)

容易知道它就等于

%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B143%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B15%5E2%7D%5Cleft(72%5Ccdot15%5E2%5Cright)%3D%5Cfrac%7B72%7D%7B143%7D

T_l 以及 T_e 的变动对概率的影响

注意到限制条件

x_1%2Bx_2%2Bx_3%2BT_l-1%5Cge%20T_e%2B1

T_l 增加1cs,即 T_l%5E%7B(2)%7D%3DT_l%20%2B1,那么允许的第一次攻击时长就可以减少1cs(概率更大),也即若 x_1%5Cge%20t,则允许 x_1%5E%7B(2)%7D%5Cge%20t-1 。由前面分析我们知道,它对应的 %5Csum%20P_a%5C%7BX%3Dx_1%5C%7D的概率+1/143,也即最终过率 %2B%5Cfrac%7B1%7D%7B143%7D

T_e 增加1cs,即 T_e%5E%7B(2)%7D%3DT_e%20%2B1,那么允许的第一次攻击时长就要增加1cs(概率变小),最终对应过率 -%5Cfrac%7B1%7D%7B143%7D

T_l,以及6列小鬼对5列啃食时间 T_e 的浮动而言,显然都满足该条件)

%5Cfrac%7B1%7D%7B143%7D


T_l 以及小喷对应的不同  T_e 

T_l%3D 35(单发);26(裂荚);50(大喷);29(小喷)

T_e%3D408(-5小喷);404(-4,-3小喷);400(-2小喷);396(-1小喷);392(+0小喷);388(+1,+2小喷);384(+3,+4小喷);

可以直接得出小鬼对它们的过率:

P_1%3D%5Cfrac%7B72%7D%7B143%7D

P_l%3D%5Cfrac%7B63%7D%7B143%7D

P_d%3D%5Cfrac%7B87%7D%7B143%7D

P_%7Bp%2B0%7D%3D%5Cfrac%7B66%7D%7B143%7D

P_%7Bp-5%7D%3D%5Cfrac%7B50%7D%7B143%7D

P_%7Bp-4%7D%3DP_%7Bp-3%7D%3D%5Cfrac%7B54%7D%7B143%7D

P_%7Bp-2%7D%3D%5Cfrac%7B58%7D%7B143%7D

P_%7Bp-1%7D%3D%5Cfrac%7B62%7D%7B143%7D

P_%7Bp%2B1%7D%3DP_%7Bp%2B2%7D%3D%5Cfrac%7B70%7D%7B143%7D

P_%7Bp%2B3%7D%3DP_%7Bp%2B4%7D%3D%5Cfrac%7B74%7D%7B143%7D

P_%7Bp-aver%7D%3D%5Cfrac%7B316%7D%7B715%7D

对玉米的分析也完全类似

由于玉米的初次攻击分布(第三种表述):

P_a%5C%7BX%3Dx%5C%7D%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B293%7D%26%2C2%5Cle%20x%5Cle%20287%20%5C%5C%5C%5C%0A%5Cfrac%7B302-x%7D%7B4395%7D%26%2C288%5Cle%20x%5Cle%20301%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A

%5B286%2C300%5D 的数

P_s%5C%7BX%3Dx%5C%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B15%7D%2C%5Cquad%20286%5Cle%20x%5Cle%20300

T_l%3D30 ,于是在392cs内,玉米只有‘攻击1发’或‘攻击2发’两种情况。记  P_1 为只攻击1发的概率。

小鬼通过说明:攻击1发情况下不为黄油,攻击2发情况下2发都非黄油。

小鬼的过率

P_y%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7DP_1%20%2B%20%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cright)%5E2(1-P_1)

类似前面,可以写出:

%5Cbegin%7Balign%7D%0AP_1%20%26%20%3D%20%5Csum_%7Bx_1%2Bx_2%2BT_l-1%5Cge%20T_e%2B1%7DP_a%5C%7BX%3D%20x_1%5C%7DP_s%5C%7BX%3D%20x_2%5C%7D%20%5C%5C%5C%5C%0A%26%20%3D%20%5Csum_%7Bx_1%2Bx_2%5Cge%20364%7DP_a%5C%7BX%3D%20x_1%5C%7DP_s%5C%7BX%3D%20x_2%5C%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A

容易求出

P_1%3D%5Cfrac%7B224%7D%7B293%7D

于是代入求得

P_y%20%3D%20%5Cfrac%7B3309%7D%7B4688%7D


小鬼与玉米同归于尽的概率(其实我不知道存不存在,如果存在可以这样算)

需要玉米攻击2发且第二发刚好在392cs。且第一发是玉米粒,第二发是黄油。

由前面分析很容易知道概率就是:

P'_y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B293%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B4688%7D



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