IZE 6列小鬼对5列植物过率

作者：smr_romance发布时间：2024-10-25

本文主要是针对专栏 https://www.bilibili.com/read/cv28198810 的修正。专栏中思路都是对的，只是没考虑初次攻击分布，以及一些小细节存在问题。并且该作者已经进行了修正，只是一直没有更新该专栏。

几个需要知道的前提：

$T_e$ 是392cs。
以5列单发为例，于0cs释放的小鬼，第一次触发‘发射子弹倒计时’的所用时长是2-151cs，服从初次攻击分布。
$T_l$ ，对于豌豆射手而言 $T_l%3D35$ ，并且l_cd从2减到1的那一cs，子弹被发射。
$%5B136%2C150%5D$ 中的随机整数，服从均匀分布。

此处以全部随机到最短时间为例，详述单发打死小鬼的过程（进行了一定简化）：

第0cs：放置小鬼，此时以1/143概率遇到植物的g_cd=2。
第2cs：植物g_cd=0，并立刻以1/15概率重置为g_cd=136，且赋值l_cd=35。
第36cs：植物g_cd=102，l_cd=1，于是第一发子弹打出。
第138cs：植物g_cd=0，于是立即以1/15概率重置为g_cd=136，且赋值l_cd=35。
第172cs：植物g_cd=102，l_cd=1，于是第二发子弹打出。
第274cs：植物g_cd=0，于是立即重置为g_cd=a且赋值l_cd=35。
第308cs：植物g_cd=a-34，l_cd=1，第三发子弹打出，且小鬼‘（可以视作）死亡’。

如果第三发子弹打出的时间刚好是第392cs，就会出现单发与小鬼同时死亡的情况。

其他植物原理是类似的。

$x_1$ + 第一次重置到的g_cd $x_2$ + 第二次重置到的g_cd $x_3$ + (35 -1) ，只要这个值大于等于393，那么小鬼就能通过。如果这个值等于392，就是同归于尽。

豌豆射手的初次攻击分布（第三种表述）

$P_a%5C%7BX%3Dx%5C%7D%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B143%7D%26%2C2%5Cle%20x%5Cle%20137%20%5C%5C%5C%5C%0A%5Cfrac%7B152-x%7D%7B2145%7D%26%2C138%5Cle%20x%5Cle%20151%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A$

每次重置服从的均匀分布

$P_s%5C%7BX%3Dx%5C%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B15%7D%2C%5Cquad%20136%5Cle%20x%5Cle%20150$

现在就是求

$%5Csum_%7Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%2BT_l-1%5Cge%20T_e%2B1%7DP_a%5C%7BX%3Dx_1%5C%7DP_s%5C%7BX%3Dx_2%5C%7DP_s%5C%7BX%3Dx_3%5C%7D$

的值。

对于豌豆射手而言这个问题可以写成这样：

$%5Csum_%7Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%5Cge%20359%7DP_a%5C%7BX%3Dx_1%5C%7DP_s%5C%7BX%3Dx_2%5C%7DP_s%5C%7BX%3Dx_3%5C%7D$

$P_s$ ，不妨将它们合成一个，此处不显式给出它的表达式 $P_%7Bss%7D%5C%7BX%3Dx%5C%7D$ ，而是用更直观的方法，类似直积形式写成方阵：

$P_%7Bss%7D%3A%5Cquad%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A272%26273%26274%26%5Ccdots%26286%5C%5C%0A273%26274%26%26%26%5Cvdots%5C%5C%0A274%26%26%5Cddots%26%26298%5C%5C%0A%5Cvdots%26%26%26298%26299%5C%5C%0A286%26%5Ccdots%26298%26299%26300%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%0A$

$%5Cfrac%7B1%7D%7B15%5E2%7D$ .

$P_%7Bss%7D$ 每个元素对应的满足条件的 $P_a$ 的概率求出，并将对应概率相乘，最后整体求和，即得到所求最终概率。

$%5Cfrac%7B1%7D%7B15%5E2%7D$ ，那么相应地第一次攻击时长 $x_1$ 必须大于等于87，又很容易知道第一次攻击满足条件的概率等于

$%5Csum_%7Bx%3D87%7D%5E%7B151%7DP_a%5C%7BX%3Dx%5C%7D%3D1-%5Csum_%7Bx%3D2%7D%5E%7B86%7DP_a%5C%7BX%3Dx%5C%7D%3D1-%5Cfrac%7B85%7D%7B143%7D%3D%5Cfrac%7B58%7D%7B143%7D$

$%5Cfrac%7B2%7D%7B15%5E2%7D$ ，那么第一次攻击时长必须大于等于88，同理知道第一次攻击满足条件的概率 $%5Cfrac%7B59%7D%7B143%7D$ .

……

$%5Cfrac%7B1%7D%7B15%5E2%7D$ ，第一次攻击时长大于等于59，满足条件的概率 $%5Cfrac%7B86%7D%7B143%7D$ .

于是可以将所求写为：

$%5Cfrac%7B1%7D%7B143%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B15%5E2%7D%5Cleft(1%5Ccdot58%2B2%5Ccdot59%0A%2B%5Ccdots%2B15%5Ccdot72%2B14%5Ccdot73%2B%5Ccdots%2B1%5Ccdot86%5Cright)$

容易知道它就等于

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B143%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B15%5E2%7D%5Cleft(72%5Ccdot15%5E2%5Cright)%3D%5Cfrac%7B72%7D%7B143%7D$

$T_l$ 以及 $T_e$ 的变动对概率的影响

注意到限制条件

$x_1%2Bx_2%2Bx_3%2BT_l-1%5Cge%20T_e%2B1$

$T_l$ 增加1cs，即 $T_l%5E%7B(2)%7D%3DT_l%20%2B1$ ，那么允许的第一次攻击时长就可以减少1cs（概率更大），也即若 $x_1%5Cge%20t$ ，则允许 $x_1%5E%7B(2)%7D%5Cge%20t-1$ 。由前面分析我们知道，它对应的 $%5Csum%20P_a%5C%7BX%3Dx_1%5C%7D$ 的概率+1/143，也即最终过率 $%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B143%7D$ 。

$T_e$ 增加1cs，即 $T_e%5E%7B(2)%7D%3DT_e%20%2B1$ ，那么允许的第一次攻击时长就要增加1cs（概率变小），最终对应过率 $-%5Cfrac%7B1%7D%7B143%7D$ 。

$T_l$ ，以及6列小鬼对5列啃食时间 $T_e$ 的浮动而言，显然都满足该条件）

$%5Cfrac%7B1%7D%7B143%7D$ 。

$T_l$ 以及小喷对应的不同 $T_e$

$T_l%3D$ 35(单发)；26(裂荚)；50(大喷)；29(小喷)

$T_e%3D$ 408(-5小喷)；404(-4,-3小喷)；400(-2小喷)；396(-1小喷)；392(+0小喷)；388(+1,+2小喷)；384(+3,+4小喷)；

可以直接得出小鬼对它们的过率：

$P_1%3D%5Cfrac%7B72%7D%7B143%7D$

$P_l%3D%5Cfrac%7B63%7D%7B143%7D$

$P_d%3D%5Cfrac%7B87%7D%7B143%7D$

$P_%7Bp%2B0%7D%3D%5Cfrac%7B66%7D%7B143%7D$

$P_%7Bp-5%7D%3D%5Cfrac%7B50%7D%7B143%7D$

$P_%7Bp-4%7D%3DP_%7Bp-3%7D%3D%5Cfrac%7B54%7D%7B143%7D$

$P_%7Bp-2%7D%3D%5Cfrac%7B58%7D%7B143%7D$

$P_%7Bp-1%7D%3D%5Cfrac%7B62%7D%7B143%7D$

$P_%7Bp%2B1%7D%3DP_%7Bp%2B2%7D%3D%5Cfrac%7B70%7D%7B143%7D$

$P_%7Bp%2B3%7D%3DP_%7Bp%2B4%7D%3D%5Cfrac%7B74%7D%7B143%7D$

$P_%7Bp-aver%7D%3D%5Cfrac%7B316%7D%7B715%7D$

对玉米的分析也完全类似

由于玉米的初次攻击分布（第三种表述）：

$P_a%5C%7BX%3Dx%5C%7D%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B293%7D%26%2C2%5Cle%20x%5Cle%20287%20%5C%5C%5C%5C%0A%5Cfrac%7B302-x%7D%7B4395%7D%26%2C288%5Cle%20x%5Cle%20301%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A$

$%5B286%2C300%5D$ 的数

$P_s%5C%7BX%3Dx%5C%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B15%7D%2C%5Cquad%20286%5Cle%20x%5Cle%20300$

$T_l%3D30$ ，于是在392cs内，玉米只有‘攻击1发’或‘攻击2发’两种情况。记 $P_1$ 为只攻击1发的概率。

小鬼通过说明：攻击1发情况下不为黄油，攻击2发情况下2发都非黄油。

小鬼的过率

$P_y%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7DP_1%20%2B%20%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cright)%5E2(1-P_1)$

类似前面，可以写出：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AP_1%20%26%20%3D%20%5Csum_%7Bx_1%2Bx_2%2BT_l-1%5Cge%20T_e%2B1%7DP_a%5C%7BX%3D%20x_1%5C%7DP_s%5C%7BX%3D%20x_2%5C%7D%20%5C%5C%5C%5C%0A%26%20%3D%20%5Csum_%7Bx_1%2Bx_2%5Cge%20364%7DP_a%5C%7BX%3D%20x_1%5C%7DP_s%5C%7BX%3D%20x_2%5C%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A$