【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章极限 

§1-6两个重要的极限

【01】现在我们来讨论微积分中常常用到的两个重要的极限。

1、

【02】为了证明这个极限，我们先介绍一个有关极限的定理（证明略）。

【03】定理.如果函数 f(x)，g(x)，h(x) 在点 x₀ 的附近满足：

(1) g(x)≤f(x)≤h(x)，

(2) （A是常数），

那么有   。

【04】现在我们来讨论   。为此，我们先列出当 x 接近于 0 时函数 sinx／x 的值如下表，并作出函数的图象（图1·9）。

【05】从上表和图1·9可以看出，当 x 无限趋近于 0 时，函数 sinx／x 的值无限趋近于 1，即   。下面我们利用上面的定理来证明这个结论。

【06】如图1·10，在单位圆中，以 OA 为始边的圆心角 x（不大的正角）是用弧度来度量的，角的终边与圆相交于 P  。MP⊥OA，AN 是过圆 O 上 A 点的切线，它和 OP 相交于 N  。

【07】从图中知道，，

【08】那么面积

S△OAP＝(1/2)sinx，

S扇形OAP＝(1/2)x，

S△OAN＝(1/2)tgx，

【09】由 S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAN，

【10】得 sinx＜x＜tgx  。

【11】当自变量 x 取正值趋近于 0 时，sinx＞0，

【12】因此，1＜x／sinx＜tgx／sinx，

【13】即 1＜x／sinx＜1／cosx，

【14】于是，cosx＜sinx／x＜1  。

【15】因为余弦函数是连续函数，所以   。根据上面判定函数极限存在的定理，得到当 x 取正值趋近于 0 时，  。

【16】又当 x 取负值趋近于 0 时，－x→0，－x＞0，sin(－x)＞0，

【17】于是   。

【18】根据1-3节最后的定理，

【19】由于 ，

【20】所以有   。

【21】在推导这个重要极限时，用到 S扇形OAP＝(1/2)x，x 以孤度为单位。一般地，在微积分中三角函数的自变量都是实数，它对应于以弧度为单位的角或弧。

例1.求  。

【解】

例2.求   。

【解】

2、

【22】我们以下表可以看出当 x→＋∞ 时函数 (1＋1/x)ˣ 的变化趋势：

【23】同样，当 x→－∞ 时，函数 (1＋1/x)ˣ 有相同的变化趋势（见下页的表）。

【24】可以证明，当 x 趋向无穷时，(1＋1/x)ˣ 趋近于无理数 2.71828182845…，记作 e  。

【25】即   。

【26】如果作一个变换 y＝1/x，那么当 x→∞ 时，y→0，于是又得到

  。

【27】无理数 e 是自然对数的底，它在微积分和其他科学技术中经常用到。

例3.求   。

【解】

  。

练习

1、求下列极限：

2、求下列极限：

习题三

1、根据函数连续性的定义，说明下列函数在给定点处连续：

(1) f(x)＝3x＋1，x＝1/2；

(2) f(x)＝ax²＋b，x＝1；

(3) f(x)＝(4x²－1)／(2x－1)，x＝2；

(4) f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d，x＝0  。

2、说出下列函数在实数抽上哪些点处不连续：

(1) y＝1／(x²＋3x＋2)；

(2) y＝1／sinx  。

3、写出由下列各组函数复合而成的复合函数：

(1) y＝u²，u＝sinx；

(2) y＝sinu，u＝x²；

(3) y＝u³，u＝x²＋1；

(4) y＝ln u，u＝v²＋1，v＝sinx；

(5) y＝eᵘ，u＝v²，v＝ctg x；

(6) y＝arcsin u，u＝√v，v＝(x－a)／(b－a)  。

4、下列函数是由哪几个简单函数复合而成的？

5、求下列极限：

6、求下列极限：

7、求下列极限：