【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第二章导数和微分——导数概念

§2-1瞬时速度

【01】我们知道，物体作匀速直线运动时，物体的位移 s 与所经过的时间 t 的比，就是物体运动的速度 v，即 v＝s／t  。这个速度在匀速直线运动过程中的任何时刻都是一样的。

【02】如果物体作非匀速直线运动，也就是说，在运动过程的各个时刻，物体运动的快慢不一样，这时，设已知物体的运动规律是 s＝s(t)，从 t₀ 到 t₀＋△t（△t 称为时间改变量）这段时间内，物体的位移（即位置改变量）是 △s＝s(t₀＋△t)－s(t₀)，

【03】那么，位置改变量 △s 与时间改变量 △t 的比，就是这段时间内物体的平均速度 ，即

  。

【04】平均速度的大小反映在这段时间内物体运动快慢的平均程度。

【05】为了更精确地刻划非匀速运动，还需知道物体在某一时刻的“速度”。那么，作非匀速直线运动的物体在某一时刻的“速度”怎样求呢？

【06】现在我们以自由落体运动为例，来说明作非匀速直线运动的物体在某一时刻的“速度”的求法。

【07】我们知道，自由落体运动的方程是

，

【08】这里 g 是重力加速度，通常取 g＝9.8米/秒²  。现在来求 t＝3秒 这一时刻落体的“速度”。

【09】当 △t 很小时，从 3 秒到 3＋△t 秒这段时间内，落体运动的快慢变化也不大，因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映落体在 3 秒时的“速度”。当 △t 越小时，一般来讲，这种近似就越精确。现在我们来计算一下 t 从 3 秒分别到 3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒、……，各段时间内的平均速度，把所得数据列表如下：

【10】从上表可以看出，平均速度 △s／△t 随着 △t 变化而变化，当 △t 越小时，△s／△t 越接近于一个定值——3g  。这个值就是 △t→0 时 △s／△t 的极限。我们规定这个极限为落体在 t＝3秒 时的速度，也叫瞬时速度，用 v 表示。根据第一章求极限的法则，得

【11】一般地，我们规定，非匀速直线运动在某一时刻 t₀ 的瞬时速度 v，就是运动物体在 t₀ 到 t₀＋△t 一段时间内的平均速度当 △t→0 时的极限，即

  。

【12】平均速度 △s／△t 在 △t→0 时转化为瞬时速度，解时速度的大小刻划了物体在某一时刻运动的快慢。

练习

1、一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 y 与时间 x 之间的函数关系为 y＝x²  。

(1) 求时间 x 从 5 秒分别到 6 秒、5.1 秒、5.01 秒、5.001 秒、5＋h 秒的时间改变量 △x，对应的垂直距离改变量 △y 以及这段时间内垂直方向的平为速度 △y／△x，并填下表：

(2) 求在 5 秒时垂直方向的瞬时速度。

2、质点 M 按规律 s＝2t²＋3t 作直线运动（s 的单位为厘米，t 的单位为秒）。

并说明它们的物理意义；

(2) 求出质点 M 从 2 秒分别到 2.1秒、2.01秒、2.001秒、2＋△t 秒各段时问内的平均速度；

(3) 求质点 M 在 t＝2秒时的瞬时速度。