挺有用的常微分方程（七）

作者：不能吃的大鱼发布时间：2024-10-13

重置的部分差不多就结束了，接下来的内容将不再是对之前已经介绍过的内容的重新讲述，而是在之前的内容的基础之上继续深入地研究有关常微分方程的内容。

我们已经介绍过了有关常系数线性微分方程的解法（包括齐次方程以及右侧函数为拟多项式的情况），现在我们进一步要考虑的，实际上是上述情况的自然推及。既然对一般的方程已经有了介绍，我们自然就要想到去研究由这样的方程构成的方程组的解法。

不过，单个方程和方程组之间的差别实际上并不算是很小。就形式上来说，方程组涉及到多个函数（关于同一变量的，不然就会是偏微分方程组），而这些函数可能会同时出现在方程组中的每一个方程当中。这也就是说，这些个函数之间是相互纠缠的，并不容易将它们单独分离出来。不过，很快我们就会看到，我们总有办法去处理，至少对于齐次方程组是做得到的。

Chapter Three 常系数线性方程

3.5 常系数线性方程组——消去法与标准方程组

所谓常系数线性方程组，就是多个常系数线性方程的组合。对于单个方程而言，其解只涉及到一个函数。但是对于方程组而言，我们将同时构建包含多个单变量函数的多个方程，并将其置于同一条件下求解。

我们考虑最一般的方程组形式：

通过线性代数的知识，我们自然可以引入矩阵，将其改写为：

如果我们此时将各函数看做是数字变量，而系数矩阵视为数字矩阵（不再是微分多项式的矩阵），此时的问题就变为了求解一般代数线性方程组的问题，这是很容易解决的，只要利用Cramer法则即可。现在我们受到启发，考虑能否用类似的想法去求解微分方程组。

利用Cramer法则求解方程组的解的通常步骤是先要求出系数矩阵的行列式，之后再求出用右侧数向量替换系数矩阵对应位置之后得到的矩阵的行列式，二者相除即可得到结果。不管怎么说，行列式在其中起到了非常重要的作用，尽管目前针对于微分方程，我们不能完全参照一般代数线性方程组的做法去做（毕竟系数矩阵是微分算子的多项式，和函数向量有着本质差别，当然不可能随意替换），但是我们总是可以去求出关于微分算子的行列式来的。

为第i行第j列元素的代数余子式，于是就应该有：

行列式前的符号为Kronecker符号，当且仅当i=j时，取值为1；否则取值为0。

我们依次用各代数余子式作用于原方程组，得到：

上述等式的左侧实际上等于：

于是我们得以知道，原方程组的每个函数，其都应该满足方程：

都是恒为0的。此时，我们将上述方程同样化为一个齐次方程：

从而，利用我们之前讨论过的结果，所有在方程中涉及到的函数都可以被解出来，其解的形式也是已知的，即：

我们将这个形式的解再度代入原方程组，得到：

为方程组的微分算子系数矩阵，以及均为常向量。）

进一步处理，得到：

分别处理上式左侧的两组向量。对于第一组，利用平移公式，我们能够知道：

显然，应该有：

于是，我们就得到了：

以及是线性无关的，因此我们知道：

类似地，利用：

我们也可以操作得到一个数的矩阵。

（j，m，l分别为第j个特征值，次数为m-1的幂函数以及对应的常数向量中的第l个分量。）

现在我们知道，对于非重特征值而言，其解函数的系数一定满足上述方程。由Cramer法则立刻知道，该代数方程组的系数矩阵的行列式为0。

（至于重特征值的结论，由于形式过于复杂，反而不如具体操作时具体实施，而非硬要使用公式。）

在该方法中，我们利用了有关线性代数的知识去解决常系数线性微分方程组的求解问题。而有关代数方程求解的方法，本质上通常使用所谓的消去法。利用行列式解方程，或者是利用初等变换对系数矩阵做处理实际上都是这样的思想。因此，利用了类似思想的上述用于解决微分方程组的求解问题的方法，我们也称之为——消去法。

现在，让我们将目光转向一类更为简单但是更为典型的方程组——标准常系数线性其次方程组。它具有下面这样的形式：

上式左侧是函数向量的导数，也是一组函数向量；而右侧是一个常系数矩阵与函数向量自身的乘，当然得到一组函数向量。很明显，由于左右两侧是同样维数的向量，我们可以通过移项将其化为齐次方程组，从而利用我们上面得到的结论。只是，这样得到的方程组的微分算子矩阵略有特殊，它应该具有下面这样的形式：

（当然是数的，而非函数的），我们就可以直接写出方程组的解为：

这个结果带有一定猜测的成分，不过直接分析，我们只要令：

应该是对应的特征向量的常数倍。

现在，我们考虑，对于标准方程组来说，即使是重特征值对应出的解，是否也有简单的表达形式呢？

进行研究，其对应的解的形式应为：

将最后的形式代入到方程组中去，得到：

约去指数函数，得到：

进一步代入，得到：

考虑到不同幂次的幂函数之间线性无关，因此应该有：

从上述第一个递推式出发，我们得到：

应该是该特征值下的特征向量。将上述结果合并，得到：

（注意，从第一个递推式中，我们观察到m有对应的范围，而当改变了下标数值的位次时，这个范围也应该对应改变，起始数值从1应变为2。但是，在最终的求和式中，这种改变看起来似乎并未发生。其实不然，如果我们定义任何矩阵的0次幂为单位矩阵的话，我们将1代入推导后的表达式中，会自然发现得到了一个原本不在递推关系中存在的恒等式。既然是恒等式，当然可以自然加入到序列中去而不影响表达的结果。因此，m的范围就发生了改变。）

上面构造的向量序列的终点我们是已知的，至于起点反而要花费一番功夫，不过列一些简单的代数方程应该就能够得到相应的结果，即只需要解下面这个方程：

由于右侧是对应于该特征值的特征向量（亦或者是其倍数），因此是已知的。右侧的方程的系数矩阵也是已知的，于是这个方程便可以通过基本的代数方程组的结论去求解。得到起点的向量之后，各中间的向量也就可以自然生成了。

至此，我们就完成了所有有关常系数齐次线性方程组的一般讨论。后面我们会简单介绍一下有关非齐次方程组的处理方法。（不过，在本篇的最开始，实际上就已经介绍了非齐次方程的基本解法的思路了。）

思考：

用消去法解方程组：
分别利用消去法和标准方程组的基本解法解方程组：
物理化学中对化学反应速率的描述是通过反应速率方程来实现的。对于只有反应物A参与的简单反应，一般而言，其速率方程通常是简单的一阶常系数方程：

，A的初始浓度为。考虑下面两种情况：
（1）反应为平行反应，即反应物A在同一条件下可能会同时生成B和C两种物质（B和C可能互为异构，并假设二者之间不能相互转换，因此并不是同时生成，二者之间没有相应的比例关系；由A生成B和由A生成C的反应的方程系数可能并不一致；两个反应的k并不一定相同）；
（2）反应为连续反应，即反应物A生成了B之后，B又生成了C（由A生成B和由B生成C的反应的方程系数可能并不一致；两个反应的k并不一定相同）。
试求解上述两种情况下反应过程中A的浓度表达式。