如何用微分几何证明斯托克斯定律？《张朝阳的物理课》推导应力张量的粘滞阻力
在上两节直播课中，张朝阳用微分几何的语言，计算了斯托克斯力，且已得到斯托克斯力的形式。但整个过程仍留有一个悬疑，即从微分几何理解应力张量。本次直播课便将彻底解决这一疑惑。10月20日12时，《张朝阳的物理课》第二百二十七期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾讲解了用微分几何的方式求解非直角坐标系问题的便利性，接着说明了梯度项的数学内涵，最后应用微分几何计算了应力张量第二项和第三对斯托克斯定律的贡献。
(张朝阳讲解应力张量第三项)
回顾单位基矢和坐标基矢以及微分几何
按照上一节直播课的数学符号精神，在球坐标系下，单位基矢表示为
而对这些单位基矢求偏导的结果可以用空间几何的方式求出，其结果为
而坐标基矢表示为
但这三个在球坐标系下不是正交归一的，具体为
另外的都为0。这也反应了三维欧氏空间在球坐标系下的度规为
在这个基础上，一个速度矢量可以表达为
其中
为向量的逆变指数，也是这个向量的分量；这里的基矢为坐标基矢，我们称为下基矢。而对偶空间的坐标基矢为上基矢，表示为
上基矢和下基矢的点乘为
按照这个说法，原来的速度矢量可以写为
即速度矢量的逆变表示可以理解为矢量在上基矢的投影（点乘）
而速度矢量的协变表示可以类似地理解为矢量在下基矢的投影（点乘）
应力张量中梯度项的数学说明
斯托克斯定律是固体小球在流体中运动所受到的粘滞力。在整个过程中雷诺数需要小于1。在之前的课程中，我们已经求出其大小
关键是需要引入一个应力张量
而斯托克斯力大小是应力张量跟法向矢量的点乘在z轴上投影的面积分
凑巧的是，从固体球看是一个球坐标系，导致这里的法矢为径向矢量，即单位矢量或者坐标基矢都可以
这里的应力张量的具体形式为
其中最后一项T表示转置。
在上节直播课程中，我们不加解释地说
是一个二阶张量，前面的导数算符理解为微分几何中的协变导数，在这里我们补充说明一下。首先需要指出的是这里的二阶张量写出分量，两个都是逆变指标
而
前面的导数算符理解为协变导数
为了指标平衡，实际需要将这个协变导数再用度规升上去，这样才能跟应力张量的形式一致
接着，我们再说明一下梯度在微分几何下理解后的表示形式。在矢量微积分中，一个梯度在求坐标下表示为
我们从几何上去理解梯度，可以认为是任意一个对象Ψ沿着一个方向的变化
其中底下的
就代表沿着l方向变化的一小段距离。这个沿着l方向有一个微小的变化可表示为一个矢量
在α方向的大小为
可重新表述这个矢量为
所以Δl为
重新代回
得到
后面的ΔΨ应该理解为微小的变化 dΨ，再加上底下有如下的关系
那么梯度可以写为
去掉任意对象Ψ，我们得到了梯度的一般表述形式
（张朝阳讲解梯度运算的表达式）
最后，我们将梯度作用于速度矢量，得到
最后一项中出现了一个下基矢的导数，我们知道这个肯定是下基矢的线性组合
这里我们用到了微分几何中对克氏符的理解：下基矢的导数在上基矢上的投影。因此有
再将哑指标的字母替换一下，得到
至此我们完全证明了前面的说法：
是二阶张量，且前面的导数算符理解为微分几何中的协变导数，用度规升上去的结果。
类似于速度矢量的协变导数
可称为(1,1)型张量，而
可称为(2,0)型张量。
应力张量第二项的贡献
之前的直播课，我们已经求出应力张量
所贡献的力，即斯托克斯定律。我们从张量重新看待这个问题。固体球受到的力面密度为
那么第二项按照上述的理解，可以写为
由于法向方向就是径向
因此 α=1，即有
在下面的运算中我们需要用到以下关系
当β=1时，有
而克氏符为
当δ=1时，我们可以看到
当δ=2或者3时，有
所以有
α=2有
克氏符为
分量为
所以有
（张朝阳计算应力张量第二项）
最后写成一个矢量形式得到
在线下直播课程中，我们已经计算出
代入力面密度中表达式，并在固体球面上沿着z轴方向积分，得到
应力张量第三项的贡献
应力张量中最后一项
可以写为
对比
只是将指标α、β交换一下即可，这也是转置的含义。所以有
代入
有
当β=1时，有
其中对克式符的结果我们用了前面算出来的结果
当β=2时，有
其中我们用了前面的结论
以及
由此得出力的矢量形式为
将
代入上式，并要求r=R，得出力面密度为
因此这一项没有贡献力。
再加上压差阻力的贡献
三部分力的最终结果为
这就是著名的斯托克斯定律。
（张朝阳计算第三项斯托克斯力）
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