在科学与工程领域，偏微分方程（PDE）是描述物理现象的重要工具。然而，许多复杂的PDE没有解析解，必须通过数值方法求解。为了提高求解效率并降低计算成本，物理信息神经网络（PINN）逐渐成为了一种流行的选择。PINN结合了深度学习的强大表达能力和物理定律的约束，能够高效求解PDE。在这个过程中，实验设计（DoE）起到了关键作用，它决定了训练数据集的生成，进而影响了PINN的预测性能。

粘性Burgers方程的背景

粘性Burgers方程是一个非线性PDE，常用于描述流体力学、声学和交通流等领域中的现象。其一般形式为：

其中，\(u(x, t)\) 是速度场，\(x\) 是空间坐标，\(t\) 是时间坐标，\(\nu\) 是粘性系数。

实验设计与粘性Burgers方程的求解

为了使用PINN求解粘性Burgers方程，我们需要生成一个训练数据集，该数据集包含方程在不同时间和空间点的解。实验设计在这一过程中至关重要，因为它决定了训练数据的分布和质量。

1. 实验设计方案的选择

在选择实验设计方案时，我们需要考虑几个因素，包括设计空间的维度、样本数量以及样本的均匀性。对于粘性Burgers方程，我们可以选择准随机采样方案，如Sobol采样或Hammersley采样，因为这些方案能够在高维空间中生成均匀分布的样本。

2. 样本生成

假设我们选择在\(x \in [-1, 1]\)和\(t \in [0, 1]\)的设计空间内生成样本。使用Sobol采样或Hammersley采样，我们可以生成一系列均匀分布的\((x, t)\)点作为训练数据。对于每个\((x, t)\)点，我们使用数值方法（如有限差分法）计算粘性Burgers方程的近似解作为标签。

3. PINN的构建与训练

一旦生成了训练数据集，我们就可以构建PINN。PINN的结构通常包括输入层、多个隐藏层和输出层。输入层接收\((x, t)\)作为输入，输出层预测速度场\(u(x, t)\)。在训练过程中，我们使用物理定律（即粘性Burgers方程）作为损失函数的一部分，通过最小化损失函数来更新PINN的参数。

4. 预测与验证

训练完成后，我们可以使用PINN来预测粘性Burgers方程在未见过的\((x, t)\)点上的解。为了验证PINN的性能，我们可以将其预测结果与数值解或实验数据进行比较。

案例分析

假设我们在粘性系数\(\nu = 0.01 / \pi\)的条件下求解粘性Burgers方程，并使用Hammersley采样生成了400个训练样本。我们构建了一个包含8个隐藏层、每层20个神经元的PINN，并使用Tanh激活函数。在训练过程中，我们使用了均方误差（MSE）作为损失函数的一部分，并通过Adam优化器来更新PINN的参数。

训练完成后，我们将PINN的预测结果与数值解进行了比较。结果表明，PINN能够准确地预测粘性Burgers方程的解，且预测误差在可接受的范围内。这证明了实验设计与PINN相结合在求解复杂PDE中的有效性。

结论

实验设计在将PINN应用于偏微分方程求解中起到了关键作用。通过选择合适的实验设计方案并生成高质量的训练数据，我们可以构建出性能优异的PINN模型，从而高效地求解复杂的PDE。以粘性Burgers方程为例，我们展示了实验设计与PINN相结合的具体过程和优势。

参考： 

(PDF) State-of-the-Art Review of Design of Experiments for Physics-Informed Deep Learning