【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。  

第四章不定积分 

§4-7分部积分法

【01】我们知道，两个函数乘积的导数法则是 (uv)'＝vu'＋uv'  。

【02】移项，得 uv'＝(uv)'－vu'  。

【03】两边积分，得 ʃuv'dx＝uv－ʃvu'dx  。

【04】或简写成如下形式：

【05】这个公式叫做分部积分公式。如果求 ʃvdu 比较容易时，就可以利用分部积分公式，将求 ʃudv 形式的不定积分转化为求 ʃvdu 形式的不定积分。用这个公式求不定积分的方法叫做分部积分法。

例1.求 ʃ xcosx dx  。

【解】

设 u＝x，dx＝cosxdx，

则 du＝dx，v＝sinx  。

由分部积分公式，得

ʃ xcosx dx＝xsinx－ʃ sinx dx＝xsinx＋cosx＋C  。

例2.求ʃ xeˣ dx  。

【解】

设 u＝x，dv＝eˣdx，

则 du＝dx，v＝eˣ  。

由分部积分公式，得

ʃ xeˣ dx＝xeˣ－ʃ eˣ dx＝xeˣ－eˣ＋C  。

【注意】

用分部积分公式的关键是 u 与 dv 的选择要得当，否则可能会使问题愈来愈繁。

在例2中，如果改设 u＝eˣ，dv＝xdx，则 du＝eˣdx，v＝x²/2，

按分部积分公式得 ʃxeˣdx＝(1/2)x²eˣ－(1/2)ʃx²eˣdx，

这时，上式右端第二项的积分比原来的积分更复杂了。

例3.求 ʃ arctgx dx  。

【解】

将 arctgx 看作 u，dx 看作 du，

即设 u＝arctgx，dv＝dx，

则 du＝[1／(1＋x²)]dx，v＝x  。

由分部积分公式，得

例4.求 ʃ xlnx dx  。

【解】

设 u＝lnx，dv＝xdx，

则 du＝(1/x)dx；v＝(1/2)x²  。

由分部积分公式，得

练习

用分部积分法求不定积分：

积分表的用法

【06】求一个函数的不定积分，比求它的导数或微分往往困难得多，因此我们把常见的被积函数的积分结果列成积分表。这样，在实际计算积分时，就可以利用积分表来求得函数的积分。本书后面附有简易积分表。

【07】积分表是按被积函数的类型编排的。查表求积分时，根据被积函数的类型，或经过适当的变换，化成表中所列函数类型，查出相应的公式，便可求得结果。

例1.求   。

【解】

这个被积函数是有理函数，可在附表的（二）中查出公式24是

  。

因此，以 a＝2，b＝3 代入这个公式，便得所求不定积分

  。

例2.求  。

【解】

这个被积式不能在表中直接查到，需要先进行变量替换。

设 2x＝u，那么 √(4x²＋9)＝√(u²＋3²)，x＝u/2，dx＝(1/2)du，于是

  。

上式中的被积函数是无理函数，可以在附表的（三）中查出公式50是

  。

因此，以 a＝3 代人这个公式，得

  。

最后把 u＝2x 代人，得到所求不定积分

  。

练习

利用积分表求不定积分：

习题十四

1、用换元积分法求不定积分：

2、用换元积分法求不定积分：

3、用分部积分法求不定积分：

4*、用积分表求不定积分：