乔治·帕里西的科学画像：复杂系统和其他

这篇发表于 Journal of Physics: Complexity 的观点文章介绍了2021年诺贝尔物理学奖得主乔治·帕里西（Giorgio Parisi）的科学生涯，他在物理学的多个不同方向都做出了贡献，不仅包括无序系统，还有随机量子化、KPZ方程、随机共振、椋鸟群体行为等。

撰文 | Leticia F Cugliandolo

翻译 | 龚铭康

审校 | 梁金

文章题目：A scientific portrait of Giorgio Parisi: complex systems and much more

文章链接：
https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2632-072X/acb8a1

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引言

乔治·帕里西因“发现从原子到行星尺度的物理系统中无序和涨落的相互作用”而获得2021年诺贝尔物理学奖。另一半奖项授予了 Syukuro Manabe 和 Klaus Hasselmann，以表彰他们“对地球气候的物理建模、量化变异性以及可靠地预测全球变暖”。这是官方的诺贝尔奖颁奖词。

2021年的三位诺贝尔奖得主涵盖了复杂科学的不同方面，乍一看似乎没有关联。然而，仔细研究帕里西的科学成果可以发现，他的一个开创性贡献——发现随机共振现象——实际上与气候变化有关。在与 Roberto Benzi、Alfonso Sutera 和 Angelo Vulpiani 共同撰写的原始论文中，帕里西就已经强调了这一机制在气候模型中的可能相关性。

随机共振（stochastic resonance）的发现只是乔治·帕里西众多卓越贡献中的一个。诺贝尔奖引文中的一个关键词是无序。他对自旋玻璃这一典型的无序系统的研究，导致了复本对称破缺假设的识别和解释，不仅解决了标准平均场自旋玻璃模型的问题，还激发了对许多其他物理（及其他）系统的理解。

我将乔治·帕里西描述为一位具有广泛兴趣的文艺复兴式研究者。他极具创造力。特别是在70年代中期到80年代末期之间，他取得了许多卓越成果，这些成果有很高的影响力，甚至开辟了全新的研究领域。他在理论物理和数学领域作出了杰出贡献，也涉足计算机设计、观测方法和数据分析，以及如神经网络、组合优化、活性物质和气候科学等跨学科领域。后者在罗马学生中被亲切地称为“超越”（the beyond），这是指 Mézard 等人的书《自旋玻璃理论及其超越》（Spin-glass theory and beyond）。

我以乔治·帕里西学术简历的简短描述结束这段介绍。乔治·帕里西在罗马大学学习物理并于1970年获得学位。在接下来的10年里，他在弗拉斯卡蒂国家实验室（1971-1981）担任研究员，在此期间曾作为访问科学家在美国纽约的哥伦比亚大学（1973-1974）、法国布雷苏尔伊韦特高等科学研究院（1976-1977）和巴黎高等师范学校（1977-1978）工作。1981年，他成为罗马托尔维加塔大学的正教授，并于1992年转至罗马大学担任理论物理正教授。自1987年起，他是林赛国家学院的成员，并在2018-2021年期间担任该学院院长。目前，他是该学院的副院长、罗马大学名誉教授，以及法国、美国和欧洲科学院的成员。

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罗马，求学时光

罗马在物理学方面，特别是理论物理方面，有着悠久的卓越传统。现代物理学起始于由恩里科·费米（Enrico Fermi）领导的罗马大学物理研究所的“潘尼斯佩纳街的小伙子们”研究小组。在30年代初，该小组的研究兴趣从原子物理转向核物理，特别是发展了β衰变理论，并通过中子轰击和慢中子发现了人造放射性。尽管费米因法西斯主义的到来不得不离开意大利，但由于 Edoardo Amaldi 的努力，他的学派在二战后仍得以延续，Amaldi 是唯一留在罗马的成员。

图1. 来自维基百科的Panisperna男孩图片和我拍摄的遗址墙照片。

在帕里西的学生时期，罗马大学物理系有许多有影响力的年轻教授，例如统计物理、凝聚态物理和数学物理领域的 Giovanni Jona-Lasinio、Carlo di Castro、Giovanni Gallavotti，以及粒子物理领域的 Nicola Cabibbo 和 Guido Altarelli。这些人以及其他人组成了一支了不起的教授团队。

帕里西加入了 Cabibbo 的研究小组，并在他的指导下完成了学位论文。他最初的工作集中在粒子物理学。他早期的六篇论文列在图2中。但仔细看这个列表，可以发现一篇与他的前同学 Luca Peliti 和 Marco D’Eramo 共同撰写的文章《临界指数的计算》，在其中找到了玻色液体λ点的临界指数的封闭方程。从某种意义上说，这些论文表现出了他对统计物理问题的初步兴趣。当时的其他工作涉及共形群、二维共形异常，以及现在重新兴起的用于研究相变的共形引导方法（例如，请参见[7]），这是70年代初由苏联的 Alexander Polyakov 提出的，但也有 Raoul Gatto 及其同事独立提出的[8, 9]。

图2. 论文列表。

G. Parisi 的网页
https://chimera.roma1.infn.it/GIORGIO/papers.html 的注释截图。

在这个早期阶段，帕里西试图找到方法并理解具有强相互作用的场论，他从两个方面着手解决这个问题：高能物理和相变（关于他的个人回忆，请参见[11]中的[10]）。

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巴黎，多次合作

帕里西在法国度过了两个非常富有成果的年头，在那里他继续从事粒子物理学研究。他与 Guido Altarelli（当时在巴黎高等师范学校）合写的文章《Parton语言中的渐进自由》发展了如今的 Dokshitzer–Gribov–Lipatov–Altarelli–Parisi 演化方程，这些方程描述了 parton 分布函数随能量尺度变化的变化[12]。这项工作是他被引用最多的论文，是2015年欧洲物理学会高能与粒子物理奖的核心，表彰其在质子结构研究方面的开创性研究，“因为他们发展了一种用于描述夸克和胶子动力学的概率场理论方案，使得对强子间高能碰撞的定量理解成为可能”。正如帕里西在他对 Guido Altarelli 的历史和个人回忆中提到的，“...... Guido 喜欢指出这是高能物理领域中被引用最多的法国论文。”

同时，帕里西与萨克雷理论物理研究所的 Édouard Brézin、Claude Itzykson 和 Jean-Bernard Zuber 合作，使用矩阵模型在其无限尺寸极限中，这是 't Hooft 首创的用于计数平面图（或在数学语言中的‘地图’）的方法[14]。这篇论文不仅介绍了一种物理导向的技术，使人们能够恢复许多之前由著名数学家 William Tutte 通过组合方法派生的关于平面图的结果，而且引入了后来非常有成效的许多工具和思想：大N鞍点方法，特征值密度的相关性以精确定位奇点的起源。

他的许多长期合作都涉及法国机构的研究人员。这一合作的种子就是在这一时期播下的。

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自旋玻璃

70年代末，将离散参数连续化并取其极限至便利（但有时很奇怪）的值的计算技巧十分流行。1972年这种方法在统计物理和粒子物理的背景下被独立使用。de Gennes 提出了 O(n) 模型的n→∞极限，以获得稀溶液中聚合物的统计数据 [15]。Bollini 和 Giambiagi [16]，以及独立的 't Hooft 和 Veltman [17]，都曾提议将空间的维度作为一个复杂参数，从而规范化在场论的费曼图中出现的发散积分。

另一个例子是应用复本方法研究自旋玻璃，尽管当时未完全解决，但这个问题的解决是帕里西的主要成就之一。

4.1 材料及其模型

自旋玻璃是无序系统的典型物理实现。它们是磁合金，其中磁杂质以给定浓度随机固定位置放置，这两者都是由制备过程决定的 [18]。磁矩对（以下称自旋）通过 Ruderman–Kittel–Kasuya–Yosida 交换作用相互作用。淬火随机位置诱导淬火随机相互作用，因为交换作用取决于自旋之间的距离，方式是它们可以具有两种符号，并且随距离衰减表现为短程幂律。铁磁性和反铁磁性相互作用的存在导致阻挫（frustration），换句话说，每个自旋的邻居具有两种可能的状态。自旋的维度取决于材料细节；它们可以有三个组分（Heisenberg）、两个组分（XY）或只有一个（Ising），在所有情况下模量是固定的。

• Edwards-Anderson 模型（EA模型）

实验显示磁化率中出现了一个拐点，表明向一种未知类型的低温相的相变 [19]。Edwards 和 Anderson (EA) [20] 简化了模型，并考虑i=1, …, N伊辛自旋si位于规则三维晶格的顶点，而固定耦合来自概率分布，通常是均值为零的高斯分布（如果没有铁磁性或反铁磁性偏差）并且方差有限。EA 还提出了一个动态序参量作为时滞自相关的长时间极限。在静态计算中，EA 序参量按如下方式给出：

在零磁场下，该参量在临界温度以上为0，在临界温度以下不为0，其中自旋应具有局部磁化mi，在空间变化并具有两种符号。

自平均表明典型行为与平均为1的无序一致。这一事实在某种意义上是有利的，因为人们不需要单独关注每一个样本，但带来了必须计算配分函数的对数的无序平均值以后从中导出可观测量的困难。

4.2 复本方法

在 Brout 的开创性论文[20]之后，EA 指出可以使用复本技巧来表示配分函数的对数与泰勒展开，并转换计算为

其中方括号表示带有它们分布的耦合Jij的平均值。实际上，对EA模型仍然无法进行此计算。

• Sherrington-Kirkpatrick 模型（SK 模型）

EA 模型的平均场版本由 Sherrington 和 Kirkpatrick (SK) [21] 提出。它包括在一个完全连接的图上放置自旋，没有距离的概念，并且随自旋数量缩放耦合Jij的方差，以确保有意义的热力学极限。复本方法现在可以应用到后期阶段，其中一

Ansatz）。计算大大简化，q的鞍点方程正是众所周知的 Curie–Weiss 方程在顺磁-铁磁相变中的磁化的轻微修改。不幸的是，最终解显示了两处不一致性：零温熵为负[21]，且鞍点不稳定[22]。

在 SK 之后，一些研究者试图打破复本对称性，从而有望解决上述两个问题。有来自 Blandin（奥赛固体物理实验室）[23]以及 Bray 和 Moore（曼彻斯特）[24]的著名提议但并非完全正确。（见 Marc Gabay 和 Mike Moore 对这一时期的回忆[11]。）

• 完全复本对称破缺（RSB）

帕里西了解到这个问题，认为它是一个有趣的数学挑战（用他自己的话说），并找到了没有非物理情况的复本对称破缺假设 [25-27]。他的方案是层级的，矩阵Q由不同大小和元素q0 < q1 < … < qEA的对角框中的对角框组成，见图3，所有这些都由鞍点方法确定（各种大小m不是磁化强度且不取整数值）。对于 SK 模型，这个过程无休止地重复，并被带到连续极限。这就是完全复本对称破缺（replica symmetry breaking，RSB）方案。

图3. （离散）复本对称破缺方法的草图。经授权转载自[28]。© 2015 牛津大学出版社

在所谓的p > 2自旋模型中（其中自旋以p个为一组的形式相互作用，p = 2是熟悉的两体相互作用），该过程在第一步结束，一步 RSB 就足够了。

相当繁琐但设置良好的[fJ]计算的结果基本上归结为确定重叠分布函数，这是这些问题的序参量，

在高温相，这只是零处的 δ 函数。在低温相中，P(q)被发现在q = ±qEA处有两个 δ 峰，但也有较小绝对值的权重。P(q)的确切形式取决于模型。基本上可以找到三类：

对SK模型的全面理解的下一步是确定其平衡状态的超度量组织[30]。这种特殊的结构意味着，随机选择的任何三个状态中，有两个重叠相等且小于第三个。

这种结构的图形表示形成了所谓的帕里西树（Parisi’s tree）。在球形p>2模型中，状态是正交的，即它们的重叠消失，这导致 P(q) 中 q=0 处的 δ 峰。

4.3 数值验证

在数值模拟中，人们无法获得分析计算的复本，但可以获得具有相同耦合强度但自主演化自旋的系统副本的真实复本（例如，使用蒙特卡洛规则）。然后将重叠计算为不同副本的自旋构型之间的关联，同时小心地达到热平衡。

这种 SK 模型的模拟展示了PJ(q)的多峰结构，表明存在具有不同属性的多个平衡状态 [31]。这些重叠没有饱和，因为 q 小于qEA，这被解释为同一平衡状态下两个构型的重叠。

4.4 数学证明

长期以来，帕里西对 SK 模型解决方案中的各种理论物理段落并未被部分社区完全接受。引人注目的是，来自 Sapienza 大学的 Guerra 展示了帕里西的 SK 模型公式fJ是精确解的下界[32]，而稍后索邦大学的 Talagrand 证明它是上界 [33]。因此，帕里西的表达式就是精确的解。这些证明使用了完全不同的方法，并没有使用复本方法。当应用于平均场模型时，他们的fJ与从复本方法得出的结果之间的一致性消除了后者的所有疑虑。此外，Panchenko 还找到了一种用数学上合理的技术证明超度量属性的方法[34]。

4.5 复杂景观和动力学

无序系统通常与复杂的景观相关联。后者是 Ginzburg–Landau 序参量依赖的自由能函数（范函）的扩展，适用于有大量序参量需要考虑的情况。具有平衡（和亚稳态）状态作为全局最小值（或局部鞍点）的自由能函数（范函）由Thouless–Anderson–Palmer (TAP) fTAP({mi}引入，它决定了景观。从复本计算推导出的三种分类通过 De Dominicis 和 Young [29] 解释的这些景观的分析

Edwards 和 Anderson 定义的实际序参量）与使用复本方法得出的静态值不同。这一特征是非平衡弛豫发生在相空间（阈值）与平衡态非常不同的区域的迹象之一。这也是为什么具有p>2的系统被认为是玻璃的平均场模型的原因之一。在SK模型中观察到的静态复本重叠和序参量之间的形式关系，与动态关联和涨落耗散违反，被声称可以扩展到有限维度的SK模型中[40]，使用随机稳定性参数进行论证。

4.6 超越

复本技巧和 RSB 假设的强大之处很快被跨学科领域的研究者所认识，尤其是属于生物物理和计算机科学领域的问题。例如，评估 Hopfield 神经网络的最大容量，即网络可以存储和检索的模式的最大数量，以及它如何依赖于神经元的数量，几乎立即就使用了这种技术[41]。同样，使用复本方法识别随机优化问题中的相变也很快进行[42–44]。在这种情况下，计算问题中相变的存在是通过无序系统的统计物理方法显示出来的[45]。在《自旋玻璃理论及其超越》书中可以找到许多其他应用[2]。

特别重要的是对典型的组合优化问题，K-适应性（K-satisfiability）问题最近进行的分析，其思想源自自旋玻璃理论。这类问题涉及必须满足M个约束的N个变量。在K-适应性问题的情况下，这些约束中的每一个都是对涉及的K个布尔变量所取值的（至少一个）要求的验证。例如，计算机科学任务是要找到满足所有约束的N个变量的分配，计算验证这些约束的方法的数量，并从中得出复杂性，以及设计最有效的算法——即使用最少的操作——找到这些分配。

在它们最困难的实现中，K-适应性问题（K > 2）被认为是NP完全的。在其随机版本中，问题集合被统计地研究。Mézard 等人提出了一个具体的算法，作为空腔方法（信念传播）的扩展，现在考虑到了许多状态的存在（调查传播），用于攻击随机生成的K-适应性问题实例，对于一些参数它们难以解决[46]。这些作者因其成就而在2016年获得了美国物理学会的昂萨格奖。

更近一步，利用资源-竞争模型与其凸区域中连续约束满足问题的相似性，可以使用复本方法研究前者。结果表现出从一个“屏蔽”相，即出现集体和自我维持的行为，到一个‘脆弱’相，即一个小的扰动可以破坏系统并导致种群灭绝的转变[47]。其他生态系统模型，如随机 Lotka–Volterra 模型，目前正在使用这种技术进行研究。

4.7 结构玻璃的应用

复本理论方法近年来已被帕里西及其合作者扩展并应用于粒子系统。与 Silvio Franz 一起设计的有效势技术（effective potential technique）已被证明是一个非常有用的工具，可以通过适用于处理这个问题的纯静态方法找到动态临界温度 [48]。最近，复本方法非常成功地应用于无限维中相互作用的粒子系统的研究[49]。因此，可以定量处理诸如模式耦合近似的有效性限制等重要问题。

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随机过程

5.1 随机量子化

随机量子化技术（stochastic quantisation technique） [50] 提出让所关注的场依赖于一个额外的虚构实时时间，并使用 Langevin 方程进行演化，以便在渐近极限t→∞时，场的概率分布与所研究的平衡量子场理论（具有欧几里得作用）一致。从某种意义上说，随机量子化是量子蒙特卡洛技术的连续时间对应物。在帕里西和吴引入该方法后不久，许多量子场论都通过这种方法进行了研究，并且 [51] 收集了这些应用的综述文章。

5.2 Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) 方程

KPZ 方程用于动力学表面生长 [52] （定向的，没有悬垂），将 Edwards-Wilkinson (EW) 线性方程进行了推广。在后者中，相对于具有位置

的d维基板，界面高度h的局部速度仅由局部弹性力和白热噪声决定。KPZ 增加了一个与表面局部梯度平方成比例的非线性力：

添加的项极大地改变了h的行为，使其不再是高斯场，并表现出非常复杂的动力学粗化。例如，生长的普适性类由表面粗糙度的标度特性决定的指数确定，并且与EW类不同。这个新的普适性类描述了广泛的非平衡涨落，超越了生长界面。发现属于KPZ普适性类的动态涨落的某些情况包括定向聚合物和粒子传输、琼脂上的细菌群落界面、纸张的慢燃烧以及固体薄膜的生长。新的例子仍在不断出现。

在一维情况下，相对容易导出KPZ界面的精确结果。有趣的是，对其某些性质的分析与随机矩阵理论、非对称排斥过程以及统计物理和数学中的其他著名问题有联系。一旦基板的维度超过一维，指数就不再容易导出，并且还没有完全成功的重整化群策略。

总的来说，KPZ方程提出了新的分析和实验挑战，促使许多非常有趣结果的导出。在数学方面，Martin Hairer 因其对该方程的形式研究在2014年获得了菲尔兹奖 [53]。Takeuchi 因其在液晶湍流中生长界面的实验研究，在2013年获得了IUPAP青年科学家奖。得益于该系统中收集到的足够统计数据，Takeuchi 成功研究了高度分布和关联函数，并借此证明了KPZ普适性类 [54]。

5.3 随机共振

随机共振现象（Stochastic Resonance phenomenon） [1] 由一个相对简单的非线性Langevin方程来示例：

其中 a > 0。在没有周期性扰动的情况下，T(t) 弛豫到双稳势的一个最小值上，由右侧的确定性力引起，并通过热激活随机跳过屏障到另一个最小值，然后往复。加入周期性扰动后，在噪声强度的选择不太严格的情况下，非线性弛豫和外部强迫之间出现协同效应。其结果是在频率Ω的功率谱中产生强烈响应，即共

5.4 超对称和降维

在另外几篇基础论文中，Parisi 和 Sourlas [55, 56] 引入了一个随机方程的超对称表示，这不仅证明了其优雅性，而且非常有用。

一方面，这种映射很好地证明了随机场伊辛模型 (RFIM) 的（微扰）降维 [55]。后者表明，d 维RFIM中最大红外发散的图形等于无磁场模型在d-2维中的相同图形。Parisi–Sourlas 的证明如下。树（最发散）

级别的场Φ关联函数以随机场h在经典随机方程

的解上的平均值来表示。然后关联被重新写成场 Φ上的泛函积分，其中经典方程由一个乘以行列式的 δ 函数施加。后者表示为辅助费米子场的积分，值得注意的是，由此产生的场论具有超对称性。通过引入具有两个附加反交换坐标的超空间，可以得到更紧凑的表达形式，完成此操作后，降维背后的想法是，超对称理论所处的超空间等同于d-2维实空间。

在他们的第二篇论文中 [56]，Parisi 和 Sourlas 将该连接扩展到其他超对称场论和经典随机方程。他们还研究了超对称的自发破缺，并表明它与随机方程的解数量有关。

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计算机设计和观测方法

6.1 格点QCD

在1980年代，帕里西大力参与了“带仿真器的阵列处理器”（APE）计算机的初步开发和进一步发展，该计算机用于格点QCD的蒙特卡洛模拟。这是基于罗马“La Sapienza”INFN分部、罗马“Tor Vergata”、比萨、博洛尼亚和帕多瓦的合作项目，由 Nicola Cabibbo 领导，他为项目提供了强有力的科学指导，并且几位杰出的青年科学家也参与其中，他们目前分别是罗马一大和罗马二大物理系的成员，如Enzo Marinari和Gaetano Salina。APE是一台并行SIMD机器，具有针对复数运算优化的架构，并拥有自己的类Fortran语言。帕里西是该机器架构的设计者，也是编译器、随机数生成器、高度优化的格点QCD代码等的主要作者。三代APE计算机见证了他的影响力，即1 Gflop APE（1985–1987年）、100 Gflop APE100（1989–1994年）和1 Tflop APE mille（1995–2000年）。1991年，APE100是世界上最强大的超级计算机。DESY和Orsay获得了该机器的版本，使欧洲在格点场论计算能力上与美国和日本的研究团队处于同一水平。

帕里西利用APE计算机进行了多项基本的非微扰QCD方面的研究。APE分析的问题包括胶球质量和弦张力[57]，强子质量谱，QCD退禁闭相变，介子和介子-核子散射长度。某些相当大胆的近似方法必须被采用，其中之一是费米子退火（这个名字由帕里西提出，受他对无序系统的研究启发）[58]，并开发了创新技术，以可靠地提取物理信息（例如“APE涂抹”）。这些早期成果为今天获得的高精度格点 QCD 结果铺平了道路，这些结果如今经常被使用标准模型及其扩展的实验者和现象学家所使用。

6.2 有限维自旋玻璃

最近，他领导了罗马–费拉拉–巴达霍斯–马德里–萨拉戈萨合作项目，建造并广泛使用了一系列计算机（SUE和各代Janus）来进行主要在有限维度上的伊辛自旋玻璃的蒙特卡洛模拟[59]。这些研究的目的是测试RSB（复本对称破缺）图像，并研究如同在不同实验室使用的实验协议中那样，在淬火进入有序相后的弛豫过程。

6.3. 罗马的椋鸟

从11月到大约2月，面对罗马 Termini 火车站的 Cinquecento 广场会上演一场壮观的表演：椋鸟群在黄昏时分的舞蹈，之后它们栖息在附近众多的树木上。帕里西在 Andrea Cavagna 和 Irene Giardina 的协作下，在罗马国家博物馆的Massimo 宫殿屋顶上设置了一个观测系统，使用立体测量和计算机视觉技术，使他们能够重建单个鸟类的三维轨迹。收集到的前所未有的数据集涵盖了约3000只鸟类，成为一系列分析的起点，允许澄清有关鸟群组织的若干问题。例如，团队得出的第一个结论是，鸟类使用拓扑（而非度量）距离跟随邻居，基本上平均与固定数量的邻居协调一致[60]。从数据分析中提取的数字为六到七，显著小于每只鸟周围视觉上未被遮挡的邻居数量。在 Cavagna 和 Giardina 的监督下，动物集体运动的研究在罗马一直持续到现在。（相关文章：通向复杂系统的奇境 | 乔治·帕里西《随椋鸟飞行》）

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结论

帕里西培养了大量的学生、博士后和年轻研究人员，建立了一个国际研究学校，在意大利和法国产生了重要的影响。他在当时使用了一种相当不寻常的研究方法，将所有可用的工具应用于他想要解决的问题，无论是分析、数值还是现象学研究，都与他的强大直觉相结合。所有曾与他共事过的人都接触过这种研究风格，并试图效仿它。

帕里西发表了与约380位合作者合作的论文，这一数字还在增加。为了他的70岁生日，他的前同事 Maria Chiara Angelini、Gabriele Sicuro 和 Pierfrancesco Urbani 准备了合作者地图的第一个版本，并持续更新。最终版本截至2022年5月，如图4所示。

2018年，在罗马庆祝了帕里西第一篇关于RSB论文的40周年纪念，会上展示了许多在这些思想的使用和发展中起主要作用的人的工作。一本收集了RSB在不同领域应用的章节的书即将出版[61]。尽管从实际角度来看毫无用处，但为描述自旋玻璃而进行的理论工作的衍生成果在非常不同的领域中至关重要。

本文经授权转载自微信公众号“集智俱乐部”。

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