一、选题建议

9月5日晚18：00就要公布题目了，根据历年竞赛题目，可以分析A/B/C/D/E题目大概的类型，提前了解题目特点，在选题上就不会浪费过多时间。下面总结了一下5个题目各自的特点，大家可结合自己的专业和特长进行选择。

‍1、本科组——A、B、C题任选其一

A题：主要涉及物理/数学/工程类问题，这类题目相对来说属于比较难的题目，专业性比较强。可能会涉及物理学模型，如弹性力学、流体力学等专业问题，需要熟练掌握物理学、微积分、线性代数等知识。如果不是准备充分，专业对口，不建议直接选择A题，因为可能会花费很多时间在理解题目上。

B题：一般综合性较强，涵盖领域广泛，内容多变。优化类问题是每年必出的题型，常见的模型包括整数规划、线性规划、非线性规划、单目标和多目标规划、遗传算法等。建议关注优化类问题及其相关模型，同时也要了解和掌握图论、机器学习等其他可能涉及的领域。B题相对于A题来讲会简单一点，最起码题目能够读懂。

C题：近些年偏向经济/管理/统计/数据分析类问题，这类题目一般背景比较贴近生活，开放性强，理解起来较为容易，相对于AB题会简单，所以一般选择C题的人最多，所以获奖容易，出彩难。一般没有严格最优解，结果合理即可。什么都不会的小白可以直接选择C题，但C题如果想要出彩一定要有严谨的数据处理与分析过程，并且论文写作水平要高。

2、专科组——D、E任选其一

D题：一般为优化类问题，这是每年必出的题型。解决这类问题一般会用到整数规划、线性规划、非线性规划等模型。

E题：一般为分类或聚类问题，难度适中。题目可能涉及到数据挖掘、机器学习等领域。可能会涉及各种分类或聚类模型，例如k-均值聚类、决策树分类、支持向量机分类等。

总结：通过分析5个题目的特点，可知数学建模常用的模型大概可以分为五大类——评价模型、预测模型、分类模型、优化模型、统计分析模型。四类模型涉及方法很多，短期内想要全部掌握不现实，所以梳理出了五大模型中分别包含的经典模型，供大家查阅。接下来对这些比较常用的经典模型分别进行说明。

二、评价模型

在数学建模中，评价模型是比较基础的模型之一，通常根据问题的特点和需求，设计合适的评价标准和指标，对不同方案或模型的性能进行评估和比较，以帮助做出决策。典型模型包括：层次分析法、模糊综合评价、熵值法、TOPSIS法、数据包络分析、秩和比法、灰色关联法。

‍1、层次分析法

（1）基本思想
AHP层次分析法是一种解决多目标复杂问题的定性和定量相结合进行计算决策权重的研究方法。它通过构建层次结构，将复杂的决策问题分解成多个层次，并使用专家判断和比较来确定各个因素的权重，从而得出最终决策结果。比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。

（2）分析步骤

第一步：构造判断矩阵；

第二步：计算权重；
第三步：一致性检验。

（3）软件操作

AHP层次分析法的数据格式比较特殊，需要手工录入判断矩阵，如下图：

判断矩阵解读：门票相对于景色来讲，重要性更高，所以为3分；相反，景色相对于门票来讲，则为0.33333分。交通相对于景色来更重要为2分，其余类似下去。

2、灰色关联法

（1）基本思想

灰色关联分析法通过研究数据关联性大小（母序列与特征序列之间的关联程度），通过关联度（即关联性大小）进行度量数据之间的关联程度，从而辅助决策的一种研究方法。

（2）分析步骤

第一步：确定母序列和特征序列，且准备好数据格式；第二步：针对数据进行无量纲化处理（通常情况下需要）；第三步：求解母序列和特征序列之间的灰色关联系数值；第四步：求解关联度值；第五步：对关联度值进行排序，得出结论。

（3）软件操作

将数据上传至SPSSAU系统，分析页面右侧选择【灰色关联法】；将变量拖拽到右侧相应分析框中，选择“量纲化方式”，点击“开始分析”，操作如下图：

3、模糊综合评价

（1）基本思想

模糊综合评价是一种处理具有模糊信息的评价方法。在模糊综合评价中，将模糊的评价指标通过隶属度函数转化为隶属度，然后根据权重给予不同指标不同的重要性。最后，通过对隶属度进行加权求和，得到一个综合评价结果。模糊综合评价方法能够有效处理不确定性和模糊性的问题，适用于现实世界中的复杂决策。

（2）分析步骤

第一步：确定评价指标和评语集；

第二步：确定权重向量矩阵A和构造权重判断矩阵R；

第三步：计算权重并进行决策评价。

（3）软件操作

上传数据至SPSSAU系统，分析页面右侧选择【模糊综合评价】，将变量拖拽到右侧相应的分析框中，点击“开始分析”，操作如下图：

‍4、TOPSIS法

（1）基本思想

TOPSIS法是一种基于距离和相似性度量的多属性决策方法。TOPSIS法首先将多个备选方案与理想解进行比较，计算每个备选方案与理想解之间的相似性和距离。然后根据计算结果，评估和排序各个备选方案，选择最佳的方案。TOPSIS法能够较好地处理多属性决策问题，特别适用于需要考虑多个评价指标的情况。

（2）分析步骤

第一步：准备好数据，并且进行同趋势化处理（需要研究者自行处理）；第二步：数据归一化处理解决量纲问题（数据处理->生成变量，通常选择‘平方和归一化’）；第三步：找出最优和最劣矩阵向量（SPSSAU自动处理）；第四步：分别计算评价对象与正理想解距离D+或负理想解距离D-；第五步：结合距离值计算得出接近程序C值，并且进行排序，得出结论。

（3）SPSSAU软件操作

上传数据至SPSSAU系统，分析页面右侧选择【TOPSIS法】；将变量拖拽到右侧分析框中；点击“开始分析”，操作如下图：

‍5、数据包络分析

（1）基本思想

数据包络分析DEA是一种多指标投入和产出评价的研究方法。其应用数学规划模型计算比较决策单元（DMU）之间的相对效率，对评价对象做出评价。

（2）分析步骤

第一步：确定决策单元与评价指标；

第二步：DEA模型选择；
第三步：计算效率评价；

第四步：效率分析和改进。

（3）SPSSAU软件操作

将数据上传至SPSSAU系统，分析页面右侧选择【DEA】，将变量拖拽到右侧相应分析框中，选择“DEA类型”，点击“开始分析”，操作如下图：

6、组合评价法

组合评价法是指将两种或两种以上的评价方法结合起来使用，以弥补单一评价方法的不足，提高评价结果的准确性和可靠性。

• 组合评价法分析步骤：

第一步：选择评价方法，根据评价问题的特点，选择几种适合的评价方法，这些方法可以是定性的也可以是定量的。

第二步：使用每种选定的评价方法对同一组对象进行独立评价，得到各自的评价结果。第三步：将不同评价方法得到的结果进行整合，整合方式可以是简单的加权平均、排序合并，也可以是更复杂的统计或算法模型。第四步：一致性检验，检查不同评价方法的结果是否一致，如果不一致，分析原因并考虑调整评价方法或权重分配。第五步：根据整合后的结果，对评价对象进行最终评价。

三、预测模型

在数学建模比赛中，预测模型可以根据给定的数据集或者特定规律，构建合适的数学模型，进行未来趋势预测，从而帮助做出决策或规划。常用的预测模型算法如ARIMA预测、指数平滑法、灰色预测模型、马尔科夫预测、回归分析预测、机器学习预测等。

1、ARIMA预测

（1）基本思想

ARIMA模型是最常见的时间序列预测分析方法，适用于平稳时间序列数据。它包括三个部分：自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）。SPSSAU可以智能地找出最佳的AR模型，I即差分值和MA模型，并且最终给出最佳模型预测结果。当然，研究人员也可以自行设置自回归阶数p，差分阶数d值和移动平均阶数q，然后进行模型构建。

具体来说，ARIMA模型有以下几个参数：

（2）软件操作
SPSSAU进行ARIMA预测操作如下：

2、指数平滑法

（1）基本思想

指数平滑法常用于数据序列较少时使用，且一般只适用于中短期预测。对于长期趋势或复杂非线性关系的数据可能表现不佳。指数平滑可以继续拆分为一次平滑、二次平滑、三次平滑。一次平滑法为历史数据的加权预测，二次平滑法适用于具有一定线性趋势的数据，三次平滑法适用于具有一定曲线关系时使用。如果不设置平滑方法，SPSSAU将自动运行三种平滑方法，选择最优效果时对应的平滑方法。

指数平滑法中，初始值S0和平滑系数alpha是两个参数，用于确定预测模型的初始状态和对过去观察值的权重。说明如下表：

（2）软件操作

SPSSAU进行指数平滑法操作如下：

3、灰色预测模型

（1）基本思想

灰色预测模型可针对数量非常少（比如仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有效预测。其利用微分方程来充分挖掘数据的本质，建模所需信息少，精度较高，运算简便，易于检验，也不用考虑分布规律或变化趋势等。但灰色预测模型一般只适用于短期数据、有一定指数增长趋势的数据进行预测，不建议进行长期预测。

（2）软件操作

SPSSAU进行灰色预测模型操作如下：

4、马尔科夫预测

（1）基本思想

马尔可夫预测是一种基于马尔可夫链的预测方法。马尔可夫链是一个随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态的概率只取决于当前状态，与过去状态无关。马尔可夫预测利用这种性质来进行未来事件的预测。

马尔可夫预测涉及3个术语名词，如下说明：

（2）软件操作

SPSSAU马尔可夫预测操作如下：

5、回归分析预测

回归分析是一种常用的统计方法，用于建立变量间的关系模型，并通过该模型对未知数据进行预测。常见的比如线性回归和logistic回归分析。

• 线性回归分析常用于预测数值型数据：它基于自变量与因变量之间的线性关系建立模型，并利用该模型对未知的因变量进行预测。

• logistic回归分析常用于预测分类变量数据：可细分为三种——二元logistic回归、有序logistic回归和多分类logistic回归。

6、机器学习预测

机器学习是一种强大的技术，用于从数据中学习模式和规律，并利用这些知识进行预测。常用的预测类分析方法如决策树、随机森林、K近邻算法、朴素贝叶斯、支持向量机、神经网络等。
SPSSAU机器学习预测操作如下图：

四、分类模型

数学建模的分类模型是指根据已知的分类标号将输入的数据集建立分类的数据挖掘方法。分类的目标是将数据的每个个案都尽可能准确地预测到一个目标分类中。数学建模中常用的分类模型有逻辑回归、决策树、随机森林、朴素贝叶斯、KNN等。

1、逻辑回归

逻辑回归是一种广泛应用于分类问题的统计方法，尽管其名称包含“回归”，但它实际上也是一种用于二分类或多分类问题的分类算法。逻辑回归通过估计一个事件发生的概率来预测类别标签，由于其简单、易于理解和实现，以及在分类问题中的有效性，成为了机器学习和数据分析中非常流行的算法。

• SPSSAU软件操作：

上传数据至SPSSAU系统，分析页面右侧选择【logit回归】；将变量拖拽到右侧分析框中，选择变量进入方式，点击“开始分析”，操作如下图：

2、机器学习

决策树、随机森林、朴素贝叶斯、KNN等可归类为机器学习进行分类的这一类。下面以决策树模型为例进行说明。

（1）基本思想

决策树模型的原理上，其第1步是找出最优的特征和其分割点，比如影响是否患癌症的特征最可能是年龄，并且分割点可能是70岁，小于70岁可能归为‘不患癌症’，70岁及以上可能归为‘患癌症’。此第1步时会涉及到2个专业名词，分别是‘节点分裂标准’和‘节点划分方式’。第2步是找出次优的特征和其分割点，继续进行拆分。一直循环下去。

（2）软件操作

将数据上传至SPSSAU系统，分析页面右侧选择【决策树】；将变量拖拽到右侧相应分析框中，分析选择“训练集比例”、“数据归一化方式”以及“更多参数设计”，设置完成后点击“开始分析”，操作如下图：

五、优化模型

优化模型旨在找到使某个目标函数取得最大或最小值的最优解。优化模型适用于求解最佳决策、资源分配、排产安排等问题。在数学建模比赛中，优化模型可以通过建立数学规划模型，确定决策变量、约束条件和目标函数，利用求解方法寻找最优解或次优解，以优化问题的方案或决策。

优化模型中常用方法如线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图论问题、概率模型等，说明如下表：

六、统计分析模型

除以上常见的四大模型，在分析各个小点的时候，数学建模还会涉及一些简单的统计分析方法，比如差异性分析、相关性分析、聚类分析、主成分分析、因子分析等。说明如下：

七、论文模板框架

一篇完整的数模论文，包括以下九大部分：摘要（在目录之前很重要）；正文部分包括问题重述、问题分析、模型假设、符号说明、模型建立与求解、模型评价与推广、参考文献、附录等。以下为国赛论文模板的基本框架：