【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第二章导数和微分——三、微分 

§2-16微分的运算

【01】由微分的表示式 dy＝f'(x)dx 知道，已知函数求微分时，只要求出函数的导数再乘以自变量的微分。计算微分或导数的方法也叫做微分法。

例1.求 y＝sinx 的微分。

【解】dy＝(sinx)'dx＝cosxdx  。

例2.求 y＝arctgx 的微分  。

【解】dy＝(arctgx)'dx＝dx／(1＋x²)  。

【02】根据导数的基本公式，利用 dy＝f'(x)dx 我们就可求出相应的微分公式。

微分公式表

【03】同样，由求导数的四则运算法则，可以得出相应的求微分的四则运算法则：

(1) d(u±v)＝du±dv  。

(2) d(uv)＝udv＋vdu  。

【04】请同学们自己证明 (1)、(2)  。

(3)   。

【证明】

  。

例3.求 y＝eᵃˣsinbx 的微分。

【解】dy＝eᵃˣ d(sinbx)＋sinbx d(eᵃˣ)＝eᵃˣ·bcosbx dx＋sinbx·aeᵃˣdx＝eᵃˣ(bcosbx＋asinbx)dx  。

练习

1、对于函数 y＝x³－x 和下列的 △x 的值，求点 x＝2 处的 △y 和 dy：

(1) △x＝1；

(2) △x＝0.1；

(3) △x＝0.01；

(4) △x＝0.001  。

2、求下列函数的微分：

(1) y＝3x⁴－5x²＋1；

(2) y＝(2x²－3)(3x＋4)；

(3) y＝(1－x²)／(1＋x²)；

(4) y＝(1/3)tg³θ＋tgθ；

(5) y＝e²ˣsin5x；

(6) y＝arctg(Inx)  。

3、函数 y＝f(x) 的微分 dy 依赖于哪两个量？

4、边长 4cm 的正方形铁皮，在加热中边长增加了 0.001cm，求此时刻面积的微分 dS 与 △S－dS 的值。

5、半径 R 为 10cm 的球，在冷却中 R 缩短了 0.001cm，求此时刻体积的微分 dV 与 △V－dV 的值。

6、求证 d(sinx)／d(cosx)＝－ctgx  。