量子力学中的线性代数(1)

作者：sumYork发布时间：2024-10-19

前言(preface)

$%5Cquad$ 本文旨在记录线性代数中的基本概念，没有数学上严格的定义和证明，因此数学严谨性有所缺失，请见谅.

向量空间(Vector space)

$%5Cquad$ 我们先由两个具体的实例来帮助理解向量空间的代数结构.

$%5Cquad$ 三维空间中，三元组 $%5Cmathbf%7Bx%7D%3D(x%2Cy%2Cz)$ 称为 $%5Cmathbb%7BR%7D%5E3$ 中的一个向量.任取两个向量 $%5Cmathbf%7Bx%7D_1%3D(x_1%2Cy_1%2Cz_1)$ 和 $%5Cmathbf%7Bx%7D_2%3D(x_2%2Cy_2%2Cz_2)$ ，可以定义加法： $%5Cmathbf%7Bx%7D_1%2B%5Cmathbf%7Bx%7D_2%3D(x_1%2Bx_2%2Cy_1%2By_2%2Cz_1%2Bz_2)$ ，它显然满足交换律和结合律.同时可以定义数乘 $%5Clambda%20%5Cmathbf%7Bx%7D%3D(%5Clambda%20x%2C%5Clambda%20y%2C%5Clambda%20z)%2C%5C%20%5Clambda%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D$ .显然，数乘对加法满足分配律: $%5Clambda(%5Cmathbf%7Bx_1%7D%2B%5Cmathbf%7Bx%7D_2)%3D%5Clambda%5Cmathbf%7Bx%7D_1%2B%5Clambda%20%5Cmathbf%7Bx%7D_2$ .

$%5Cquad$ 在 $n$ 维复空间 $%5Cmathbb%7BC%7D%5En%3A%3D%5C%7B(x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n)%5Cvert%20x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%5C%7D$ 中， $n$ 元组 $%5Cmathbf%7Bx%7D%3D(x_1%2Cy_1%2C%5Ccdots%2Cy_n)$ 与 $%5Cmathbf%7By%7D%3D(y_1%2Cy_2%2C%5Ccdots%2Cy_n)$ 称为 $%5Cmathbb%7BC%7D%5En$ 中的两个向量.同样可以定义加法 $%5Cmathbf%7Bx%7D%2B%5Cmathbf%7By%7D%3D(x_1%2By_1%2Cx_2%2By_2%2C%5Ccdots%2Cx_n%2By_n)$ ，它同样满足交换律和结合律；类似地，定义数乘 $%5Clambda%5Cmathbf%7Bx%7D%3D(%5Clambda%20x_1%2C%5Clambda%20x_2%2C%5Ccdots%2C%5Clambda%20x_n)%2C%5C%20%5Clambda%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D$ ，它同样对加法满足分配律.

$%5Cquad$ 由上面定义的两种运算，就可以定义线性组合.对于 $k$ 个向量 $%5Cmathbf%7Bx%7D_1%2C%5Cmathbf%7Bx_2%7D%2C%5Ccdots%2C%5Cmathbf%7Bx%7D_k$ 和 $k$ 个标量 $c_1%2Cc_2%2C%5Ccdots%2Cc_k$ ，它们的线性组合定义为 $%5Cmathbf%7Bx%7D%3Dc_1%5Cmathbf%7Bx%7D_1%2Bc_2%5Cmathbf%7Bx%7D_2%2B%5Ccdots%2Bc_k%5Cmathbf%7Bx%7D_k$ .这就是向量的核心特征:可以任意地进行线性组合.反过来，具有这种特征的量都叫向量.于是我们可以抽象出向量空间 $V$ 的定义，它是这样一个集合：集合中的元素之间定义了加法和数乘，满足交换律、结合律、分配律并可以任意线性组合，同时集合 $V$ 中的元素在加法和数乘运算下具有封闭性. $V$ 中的元素称为向量.只要 $V$ 符合向量空间的定义，无论 $V$ 中的元素是什么，都可以称作向量.由于向量空间中的元素可以任意地线性组合，向量空间又叫线性空间.

$%5Cquad$ 我们将向量的符号记作 $%5Cvert%5Cmathit%7B%5Cpsi%7D%5Crangle$ ，读作向量 $%5Cpsi$ .量子力学中主要研究复系数线性组合的向量空间，即复向量空间.由向量空间对加法和数乘运算的封闭性可知，若 $%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2C%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%2C%5Ccdots%2C%5Cvert%5Cpsi_n%5Crangle%5Cin%20V$ ，则它们的任意复系数线性组合也属于 $V$ .

子空间(Subspace)与直和(Direct sum)

$%5Cquad$ 如果向量空间 $V$ 的子集 $U$ 本身也是一个向量空间，则 $U$ 称为 $V$ 的向量子空间，简称子空间.如 $%5Cmathbb%7BR%7D%5E3$ 中的任意一个过原点的平面都是 $%5Cmathbb%7BR%7D%5E3$ 的子空间.我们可以将子空间理解为过原点的超平面.

$%5Cquad$ 设 $U%2CW$ 都是向量空间 $V$ 的子空间，如果对 $%5Cvert%20%5Cpsi%5Crangle%5Cin%20U$ 与 $%5Cvert%20%5Cvarphi%5Crangle%5Cin%20W$ 当且仅当 $%5Cvert%5Cpsi%5Crangle%3D%5Cvert%5Cvarphi%5Crangle%3D0$ 时才有 $%5Cvert%5Cpsi%5Crangle%2B%5Cvert%5Cvarphi%5Crangle%3D0$ .那么就可以定义 $U$ 与 $W$ 的直和，记作 $U%5Coplus%20W$ ，它也是 $V$ 的子空间，而 $U%5Coplus%20W$ 中的任意向量 $%5Cvert%5CPsi%5Crangle$ 可以唯一分解为这样的形式： $U%5Coplus%20V%3A%3D%5C%7B%5Cvert%5CPsi%5Crangle%3D%5Cvert%5Cpsi%5Crangle%2B%5Cvert%5Cvarphi%5Crangle%3A%5Cvert%5Cpsi%5Crangle%5Cin%20U%2C%5Cvert%5Cvarphi%5Crangle%5Cin%20W%5C%7D$ .不难证明这种分解具有唯一性，设另有 $%5Cvert%5Cpsi'%5Crangle%2B%5Cvert%5Cvarphi'%5Crangle%3D%5Cvert%5CPsi%5Crangle$ ，将这两种分解相减可得 $(%5Cvert%5Cpsi%5Crangle-%5Cvert%5Cpsi'%5Crangle)%2B(%5Cvert%5Cvarphi%5Crangle-%5Cvert%5Cvarphi'%5Crangle)%3D0$ ，由定义直和的前提可知必然有 $%5Cvert%5Cpsi%5Crangle%3D%5Cvert%5Cpsi'%5Crangle%2C%5Cvert%5Cvarphi%5Crangle%3D%5Cvert%5Cvarphi'%5Crangle$ .于是我们便证得了这种分解的唯一性.

$%5Cquad$ 下面将对直和的概念进行推广.若 $%20U_1%2C%20U_2%2C%5Ccdots%2C%20U_m$ 都是向量空间 $V$ 的子空间，如果对 $%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%5Cin%20U_1%2C%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%5Cin%20U_2%2C%5Ccdots%2C%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle%5Cin%20U_m$ 当且仅当 $%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%3D%5Cvert%20%5Cpsi_2%5Crangle%3D%5Ccdots%3D%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle%3D0$ 才有 $%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2B%5Cvert%20%5Cpsi_2%5Crangle%2B%5Ccdots%2B%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle%3D0$ ，则这 $m$ 个子空间的直和，记作 $U_1%5Coplus%20U_2%5Coplus%20%5Ccdots%5Coplus%20U_m%3D%5Cbigoplus_%7Bj%3D1%7D%5Em%20U_j$ ，它也是 $V$ 的一个子空间，其中的元素可以唯一分解为这样的形式： $U_1%5Coplus%20U_2%5Coplus%5Ccdots%5Coplus%20U_m%3A%3D%5C%7B%5Cvert%5CPsi%5Crangle%3D%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2B%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%2B%5Ccdots%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle%3A%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%5Cin%20U_1%2C%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%5Cin%20U_2%2C%5Ccdots%2C%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle%5Cin%20U_m%5C%7D$ .这种分解具有唯一性，证明略.

$%5Cquad$ 一个直和的例子是，设 $U_j$ 是 $%5Cmathbb%7BC%7D%5En$ 中除了第 $j$ 个坐标其余全是零的向量所组成的子空间，则 $U_1%5Coplus%20U_2%5Coplus%5Ccdots%5Coplus%20U_n%3D%5Cmathbb%7BC%7D%5En$ .

有限维向量空间(Finite dimensional vector space)

张成空间(Span space)与线性无关(Linear independence)

$%5Cquad$ 复向量空间 $V$ 中的一组向量 $%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2C%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%2C%5Ccdots%2C%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle$ 的所有可能的线性组合构成的集合称为这组向量的张成空间，记作 $%5Ctext%7BSpan%7D(%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2C%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%2C%5Ccdots%2C%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle)$ .可以证明， $%5Ctext%7BSpan%7D(%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2C%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%2C%5Ccdots%2C%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle)$ 是包含 $%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2C%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%2C%5Ccdots%2C%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle$ 的最小子空间.

$%5Cquad$ 有限维向量空间是指由向量空间中一组有限数目的向量张成的向量空间，不是有限维向量空间的向量空间都称为无限维的.

$%5Cquad$ 对于一组向量 $%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2C%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%2C%5Ccdots%2C%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle$ ，如果 $c_1%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2Bc_2%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%2B%5Ccdots%2Bc_m%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle%3D0$ ，当且仅当所有的系数都为零，则称这组向量线性无关.如果 $%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2C%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%2C%5Ccdots%2C%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle$ 线性无关，则任何 $%5Cvert%5Cvarphi%5Crangle%5Cin%5Ctext%7BSpan%7D(%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2C%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%2C%5Ccdots%2C%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle)$ 的线性组合形式 $%5Cvert%5Cvarphi%5Crangle%3Da_1%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2Ba_2%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%2B%5Ccdots%2Ba_m%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle$ 都必然是唯一的.我们可以假设存在另一种组合形式，两种形式相减后会发现与线性无关的前提矛盾，具体证明从略.

$%5Cquad$ 如果 $%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2C%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%2C%5Ccdots%2C%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle$ 线性相关，说明对于张成子空间 $W%3D%5Ctext%7BSpan%7D(%5Cvert%5Cpsi_1%5Crangle%2C%5Cvert%5Cpsi_2%5Crangle%2C%5Ccdots%2C%5Cvert%5Cpsi_m%5Crangle)$ 我们完全可以去除其中的某些向量使得剩余的向量仍然张成 $W$ .