【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第二章导数和微分——二、求导方法  

§2-14二阶导数

【01】我们知道，函数 y＝f(x) 的导数 f'(x) 仍旧是 x 的函数。如果 f'(x) 可导，那么它的导数 (f'(x)')' 叫做 f(x) 的二阶导数，记作 f"(x)或 y"  。

【02】速度 v 是位移函数 s＝s(t) 对于时间 t 的一阶导数：v＝s'(t)  。加速度 a 是速度 v＝v(t) 对于时间 t 的一阶导数：a＝v'(t)  。所以，加速度 a 是位移函数 s＝s(t) 对于时间 t 的二阶导数：

a＝v'(t)＝(s'(t))'＝s"(t)  。

例1.设 y＝2x³－x²＋1，求 y"  。

【解】y＝6x²－2x，∴ y"＝12x－2  。

例2.设 y＝eˣcosx，求 y'|x＝0，y"|x＝0  。

【解】

y'＝eˣcosx＋eˣ(－sinx)＝eˣ(cosx－sinx)，

y"＝eˣ(cosx－sinx)＋eˣ(－sinx－cosx)＝－2eˣsinx  。

∴ y'|x＝0＝1，y"|x＝0＝0  。

f(x) 的二阶导数的导数叫做 f(x) 的三阶导数，记作 f'''(x) 或 y'''  。一般地，f(x) 的 n－1 阶导数的导数叫做 f(x) 的 n 阶导数。y＝f(x) 的 n 阶导数记作 f⁽ⁿ⁾(x)  。

练习

1、某方程为 s＝2t³－(1/2)gt²，求 t＝2 时的加速度。

2、求下列函数的二阶导数：

(1) y＝ax²＋b'x＋c；

(2) y＝x Inx；

(3) y＝tgx；

(4) y＝(1＋x²)arctgx  。

习题七

1、写出椭圆 4x²＋9y²＝36 在下列点处的切线方程：

(1) M₁(1，4√2 /3)；

(2) M₂(3/2，－√3)  。

2、写出双曲线 3x²－y²＝1 在下列点处的切线方程：

(1) M₁(1，－√2)；

(2) M₂(√3，2√2)  。

3、求圆 (x－1)²＋(y－2)²＝25 在点 P(5，5) 处的切线和法线的方程。

4、求证曲线 ax²＋2hxy十by²＝1 上点 M(x₀，y₀) 处的切线的方程为 ax₀x＋h(y₀x＋x₀y)＋by₀y＝1  。

5、求下列函数的二阶导数：

(1) y＝x√(1＋x²)；

(2) y＝e⁻ˣ²；

(3) y＝x[sin(Inx)＋cos(Inx)]；

(4) y＝4(x－2)eˣ＋(x－1)e²ˣ  。

6、如果物体的运动方程为 s＝t＋(1/4)t³（s 的单位是米），求这一物体的初速度，并求出 t＝3 秒时，物体运动的速度及加速度。

7、一物体的运动方程为 s＝aeᵗ＋be⁻ᵗ，求这个物体运动的加速度。

8、质点 M 作简谐运动，运动规律为 x＝Asinωt（A，ω 是常数），求质点 M 的速度和加速度，并求质点 M 到达点 x＝A 和点 x＝－A 时的速度和加速度。