【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第四章圆锥曲线——Ⅴ.抛物线 

§4-14抛物线的标准方程

【01】先在抛物线所在的平面上建立直角坐标系：取过焦点 F 而垂直于准线 l 的直线作为 x 轴，设垂足是 K，以 KF 的垂直平分线作为 y 轴，两轴的交点 O 就是原点，因为 | FK |＝p，所以 | KO |＝| OF |＝p/2，焦点 F 的坐标是 (p/2，0)，准线的方程是 x＝－p/2（p＞0）（图4·48）。

【02】设 P(x，y) 是抛物线上的任意一点，从 P 点作 PQ⊥l，垂足是 Q，则 Q 点的坐标是 (－p/2，y)，根据定义，有 | PF |＝| PQ |，

【03】而

【04】所以   。    (1)

【05】现在把这个方程化简：

【06】两边平方得 (x－p/2)²＋y²＝(x＋p/2)²，

【07】就是 x²－px＋p²/4＋y²＝x²＋px＋p²/4，

【08】y²＝2px  。    (2)

【09】方程(2)是从方程(1)经过平方整理后得到的，因此抛物线上的点的坐标必定满足方程(2)，但从方程(1)到方程(2)，中间经过一次平方，因此我们还要检验，满足方程(2)的实数对 (x₀，y₀) 是否也满足方程(1)，也就是说，以 (x₀，y₀) 为坐标的点是不是在抛物线上。做这个检验是很容易的。设点 P₀(x₀，y₀) 的坐标满足方程(2)，就是 y₀²＝2px₀  。

【10】现在计算 | P₀F | 的值，

【11】计算的结果表明 P₀ 到 F 的距离等于 P₀ 到准线 l 的距离，就是说，P₀(x₀，y₀) 点在抛物线上。所以方程(2)确是抛物线的方程。我们把方程 y²＝2px 叫做抛物线的标准方程。

例.已知抛物线的焦点是 F(2，0)，写出它的标准方程和准线方程。

【解】

因为焦点的坐标是 (2，0)，所以 p/2＝2，p＝4，

抛物线的方程是 y²＝2·4x＝8x，

准线方程是 x＝－2  。

【注】F(2，0)，说明 p/2＝2，不要误为 p＝2  。

练习

根据下列所给的条件，写出抛物线的标准方程：

(1) 焦参数 P＝1/2（焦点在 x 轴的正方向上）；

(2) 焦点是 F(1，0)；

(3) 准线方程是 x＝－1/4；

(4) 焦点到准线的距离是 3  。