【格物致知·几何】5-4-07椭圆的性质『数理化自学丛书6677版』

作者：山嵓发布时间：2024-09-05

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第四章圆锥曲线——Ⅱ.椭圆

§4-7椭圆的性质

【01】在第二章里，我们已掌握了对曲线进行讨论的一般方法，现在根据这个方法，从椭圆的标准方程 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （a＞b＞0） (1) 讨论椭圆的性质。

1、对称性

【02】容易看出如果以－x 代 x，以－y 代 y，方程都不变。这说明椭圆关于 x 轴和 y 轴对称，因而也关于原点对称。就是说，x 轴和 y 轴是椭圆 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ 的对称轴，原点是它的对称中心（也叫做椭圆的中心）。

【注】掌握了这个性质之后，当我们在作椭圆的图形时，只要在第Ⅰ象限内描点，画出椭圆在第Ⅰ象限内的图形，然后用对称的方法画出椭圆在其他象限内的图形。

2、截距

【03】就是求椭圆与 x 轴和 y 轴的交点，在方程(1)中，令 y＝0，得 x＝±a；令 x＝0，得 y＝±b，就是说，椭圆交 x 轴于 A(a，0) 和 A'(－a，0) 两点，交 y 轴于 B(0，b) 和 B(0，－b) 两点（图4·22）。这四个交点称为椭圆的四个顶点。AA' 称为椭圆的长轴。显然，长轴 AA' 的长是 2a，它的一半长是 a，我们称 a 是半长轴的长，BB' 称为椭圆的短轴，显然，短轴 BB' 的长是 2b，它的一半长是 b，我们称 b 是半短轴的长，又焦点必定在长轴上。

【04】从椭圆的标推方程，可以直接写出它的长轴和短轴的长。

【注1】在标准方程下，椭圆的对称轴合于两条坐标轴。.椭圆的长轴和短轴，是指对称轴上被椭圆所截的一段，它们的长是长轴和短轴的长。

【注2】总是令半长轴为 a，半短轴为 b，所以总是 a＞b（当然 a＞c）。

例1.求椭圆 x²/9＋y²/5＝1 的长轴和短轴的长。

【解】

把方程化为标准的形式，即 x²/3²＋y²/(√5)²＝1，因为总是 a＞b，故 a＝3，b＝√5，所以长轴和短轴的长分别是 6 和 2√5 。

【注】初学椭圆，有时会因疏忽而产生两种错误：第一种是把半长轴的长当作长轴的长，把半短轴的长当作短轴的长；或者相反地把长轴的长当作半长轴的长，把短轴的长当作半短轴的长，如例1中，把 3 当作长轴的长，把 √5 当作短轴的长。只要注意些就可以避免这种错误。第二种是把 a² 当作半长轴（或长轴）的长，把 b² 当作半短轴（或短轴）的长，如把例1中的 9 当作 a，把 5 当作 b 。为了避免这种错误，可以把方程与标准形式相比较，如 a²＝9，b²＝5，这样就很容易得出 a＝3，b＝√5 。

3、范围

【05】就是确定曲线存在的范围，从方程(1)解出 y 或 x，得

$%5Cscriptsize%20y-%5Cpm%5Cfrac%20ba%5Csqrt%7Ba%5E2-x%5E2%7D%5C%3B%5Csmall%5Ctext%7B%E6%88%96%7D%5Cscriptsize%5C%3B%20x-%5Cpm%5Cfrac%20ab%5Csqrt%7Bb%5E2-y%5E2%7D$ 。

【06】由这两个关系式，可以知道 a²－x²≥0，b²－y²≥0 。

【07】所以 | x |≤a，| y |≤b 。

【08】可见椭圆的图形是在四条直线 x＝0，x＝－a，y＝b，y＝－b 所围成的矩形内（图4·23）。这个矩形的长是 2a（就是椭圆的长轴的长），宽是 2b（就是椭圆的短轴的长）。

$%5Cscriptsize%20y%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%5Csqrt%7Ba%5E%7B2%7D-x%5E%7B2%7D%7D$ 在第Ⅰ象限内描点。容易看出，当 x 从 0 逐渐增大到 a 时，y 就从 b 逐渐减小到 0，因此可以在 0 到 a 之间适当地选取几个 x 的值，由关系式计算出 y 的对应的值。把这些对应的值作为点的坐标，标出点的位置，就可以描出椭圆在第Ⅰ象限内的图形。再根据对称性，描出椭圆在其他象限内的图形。

例2.求椭圆 4x²＋9y²＝36 的长轴和短轴的长，焦点的坐标，并画出它的图形。

【解】

方程的两边都除以 36，把它化为标准式，得 x²/9＋y²/4＝1，

所以 a＝3，b＝2，c＝√(a²－b²)＝√(9－4)＝√5 。

因此椭圆的长轴和短轴的长分别是 6 和 4，两个焦点分别是 F₁(－√5，0)，F₂(√5，0) 。

由关系式 y＝(2/3) √(9－x²) 计算出 x，y 的对应值：

根据坐标 (x，y) 描点，并由对称性就可以作出所求的椭圆（图4·24）。

4、离心率

【09】椭圆的形状有扁平一些的，也有圆一些的，怎样才能刻划出它的扁平程度呢？从椭圆的短轴与长轴的长的大小关系，不难看出它们对椭圆的扁平程度的影响。

【10】例如 b/a＝1/4，椭圆就显得扁一些（图4·25(a)）；b/a＝1/2，椭圆就圆一些（图4·25(b)）；如 b/a＝4/5，椭圆就更圆一些了（图4·25(c)）。可见 b/a 的值是可以刻划椭圆的肩平程度的。就是说当 b/a 的值愈接近 1 时，椭圆愈近于圆，当 b/a 的值接近于 0 时，椭圆就愈扁平〖山注|| 此处是b/a的变化规律，不是离心率的变化规律，离心率的定义在下面，并且变化规律与b/a正好相反〗。

【11】但是 $%5Cscriptsize%5Cfrac%20ba%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Ba%5E2-c%5E2%7D%7Da%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Ba%5E2-c%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%7D%3D%5Csqrt%7B1-%5Cleft(%5Cfrac%20ca%5Cright)%5E2%7D$ ，

【12】且由于 a＞c＞0，所以 0＜c/a＜1，容易看出，在式子 $%5Cscriptsize%5Cfrac%20ba%3D%5Csqrt%7B1-%5Cleft(%5Cfrac%20ca%5Cright)%5E2%7D$ 中，如 b/a→1 时，则 c/a→0，如 b/a→0 时，则 c/a→1 。因此用 c/a 的值也可以刻划精圆的扇平程度。就是说，当 c/a 的值愈大，即愈接近于 1 时（这时 b/a 愈接近于 0），椭圆就愈扁平；当 c/a 的值愈小，即愈接近于 0 时（这时 b/a 愈接近于 1），椭圆就愈近于圆。一般我们不用 b/a 的值，而是用 c/a 的值来表示椭圆的扁平程度的。

【13】就是说，用焦距的长和长轴的长的比来表示椭圆的扁平程度。这个比就叫做椭圆的离心率，并且用 e 表示，就是 $%5Csmall%20e%3D%5Cfrac%20ca$ 。

【14】因为 a＞c＞0，所以 0＜c/a＜1，就是 0＜e＜1 。如果 e＝0，则 b/a＝1，a＝b，椭圆的方程就变为 x²/a²＋y²/a²＝1，即 x²＋y²＝a² 了。就是说，当 e＝0 时，椭圆就变成圆。这时 c＝0 。因此可以把圆看成是椭圆的特例，它的两个焦点都与原点重合。

【15】从上面的讨论可知，椭圆的离心率 e（＝c/a）可以刻划椭圆的扁平程度，离心率愈大，椭圆就愈扁平。

【16】综合上面所讲的：

(1) 椭圆的四个顶点是 A(a，0)，A'(－a，0) 和 B(0，b)，B(0，－b)，因此椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a 和 2b，且 a＞b；

(2) 焦点是在长轴上，所以 a＞c，焦点的坐标是 (－c，0) 和 (c，0)，因此焦距的长是 2c；

$%5Cscriptsize%20e%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Ba%5E%7B2%7D-b%5E%7B2%7D%7D%7D%7Ba%7D$ ，又 b/a＝√(1－e²)，所以 b²＝a²(1－e²) 。在 a，b，c，e 四个参数中，只要知道其中的任意两个，便可以求出其他的两个，因而也可以写出椭圆的方程，为此，我们必须正确地掌握这四个参数之间的相互关系。

例3.求椭圆 x²/16＋y²/4＝1 的离心率和無点的坐标。

【解】

椭圆方程可写成 x²/4²＋y²/2²＝1 。

所以 a＝4，b＝2，c＝√(16－4)＝2√3 。

因此 e＝c/a＝√3／2（≈0.87）。

就是说，离心率 e＝√3／2，焦点是 (±2√3，0) 。

例4.已知 c＝8，e＝2/3，写出椭圆的方程（中心在原点，长轴在轴上）。

【解】

因为 e＝c/a 。

∴ a＝c/e＝8／(2/3)＝12 。

又 b²＝a²－c²＝12²－8²＝80，

因此椭圆的方程是 x²/144＋y²/80＝1 。

例5.地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆形，太阳在它的一个焦点上，轨道的近日点到太阳的距离是 144 百万公里，轨道的远日点到太阳的距离是 149 百万公里。求这轨道的离心率和轨道的方程。

【解】

以百万公里作为单位长度。

如图4·26所示，设 F₂ 是太阳的位置，A 是近日点，A' 是远日点（就是椭圆在长轴上的顶点）。

因为 | OF₂ |＝c，| OA |＝a，且 | F₂A |＝144，| A'F₂ |＝149，

所以

$%5Cscriptsize%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Da-c%3D144%2C%5C%5Ca%2Bc%3D149.%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

∴ a＝146.5，c＝2.5，b＝√(a²－c²)＝√(146.5²－2.5²)≈146.4 。

所以轨道的离心率 e＝c/a＝2.5/146.5＝5/293≈1/59 。

轨道的方程是 x²/146.5²＋y²/146.4²＝1 。

练习

1、求下列各椭圆的长轴和短轴的长、焦点的坐标和离心率并画出图形：

(1) x²/25＋y²/9＝1；

(2) 16x²＋25y²＝400；

(3) x²＋9y²＝81；

(4) x²＋16y²＝25 。

2、根据下列所给的条件，写出中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的方程：

(1) a＝6，e＝1/3；答：x²/36＋y²/32＝1 。

(2) b＝4，e＝3/5；答：x²/25＋y²/16＝1 。

(3) c＝3，e＝3/5 。答：x²/25＋y²/16＝1 。

【17】上面所讲的是中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆（图4·27(a)），事实上我们也可以把椭圆的中心放在原点，把焦点放在 y 轴上（图4·27(b)）。这时椭圆的长轴在 y 轴上，它的长是 2a，短轴在 x 轴上，它的长是 2b（a＞b＞0），很明显，只要把 a 和 b 的位置互换，便可得到椭圆的方程是 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%3D1$ 。（a＞b＞0）

【18】这也叫做椭圆的标准方程。例如椭圆 x²/25＋y²/9＝1 的焦点是在 x 轴上，而椭圆 x²/9＋y²/25＝1 的焦点是在 y 轴上，这里 a＝5，b＝3 是不变的，只是它们的位置不同而已。就是说，在椭圆的标推方程下，如果 x² 项的分母比 y² 项的分母大，则焦点在 x 轴上，如 x² 项的分母比 y² 项的分母小，则焦点是在 y 轴上。关系式 c²＝a²－b² 不变，椭圆的离心率仍然是 e＝c/a，只是焦点的坐标不同。如果焦点是在 x 轴上，它们的坐标是 (－c，0) 和 (c，0)，如果焦点是在 y 轴上，则它们的坐标是 (0，－c) 和 (0，c) 。例如对椭圆 x²/25＋y²/9＝1 来说，焦点是 (－4，0) 和 (4，0)，而椭圆 x²/9＋y²/25 的焦点是 (0，－4) 和 (0，4)，这是容易理解的，但也容易疏忽，必须引起注意。

【19】从上面的讨论，知道椭圆的标谁方程有

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%5Cquad(a%3Eb%3E0%5Ctext%7B%2C%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%9C%A8%20%7Dx%5Ctext%7B%20%E8%BD%B4%E4%B8%8A)%7D%5C%5C%5Csmall%0A%E6%88%96%5C%3B%26%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%3D1%5Cquad(a%3Eb%3E0%5Ctext%7B%2C%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%9C%A8%20%7Dy%5Ctext%7B%20%E8%BD%B4%E4%B8%8A)%7D%5Cend%7Baligned%7D$

【20】的形式，去分母后，也可以写成 b²x²＋a²y²＝a²b² 或 a²x²＋b²y²＝a²b² 。

【21】一般地，我们可以把它们写成 Ax²＋Cy²＝K 。

【22】上式中 A，C 是同号，这是一个只有 x² 项、y² 项和常数项的二元二次方程。

(1) 如 K≠0，且：

① K 与 A，C 同号，则 A/K 和 C/K 都是正的值，用 K 除方程的两边，就得到

$%5Csmall%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%5Cfrac%20KA%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B%5Cfrac%20KC%7D%3D1$ ，这也就是椭圆的标准方程。容易看出，如 K/A＞K/C，即 A＜C 时，则椭圆的焦点在 x 轴上（长轴也在 x 轴上），这时 $%5Cscriptsize%20a%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%20KA%7D%2Cb%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%20KC%7D$ ；如 K/A＜K/C，即 A＞C 时，则椭圆的焦点在 y 轴上（长轴也在 y 轴上），这时 $%5Cscriptsize%20a%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%20KC%7D%2Cb%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%20KA%7D$ ；如 K/A＝K/C，即 A＝C 时，则轨迹是一个圆。