【格物致知·几何】5-4-13抛物线的定义『数理化自学丛书6677版』

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第四章圆锥曲线——Ⅴ.抛物线

§4-13抛物线的定义

【01】抛物线是我们很熟悉的一种图形。

【02】在代数里学习过的二次函数 y＝ax²，它的图象就是抛物线（图4·44）。抛物线拱形在建筑工程上很有用处，如桥拱就是抛物线形（图4·45）。探照灯或手电筒的反射镜面的形状，也都是由一抛物线绕着它的对称轴旋转而成的（图4·46）。

【03】在代数里学习二次函数时，我们已初步掌握了抛物线的一些性质，但还是不够的，我们需要进一步掌握它的特性，以便能更好地把它应用到实际中去。

【04】椭圆（或双曲线）上的点的几何特征是“到两个定点的距离的和（或差）等于一个常数”。我们利用这种几何特征给椭圆（或双曲线）下了定义。用同样的方法，我们来探讨抛物线的几何特征。先考察下面的事实：

【05】如图4·47，将一根直尺固定在平板上，把直尺的一边当作为定直线 l，拿一块直角三角板，以它的较短的直角边紧靠直线 l，在另一条直角边的锐角顶点处 A 上结一条细绳，取这条绳与长的直角边等长。绳的另一端扎一个小钉，并把它钉牢在平板上的 F 处作为定点，然后以铅笔尖紧靠三角板把绳拉紧，并将三角板紧靠 l 移动，笔尖画出的图形就是抛物线。

【06】从上面画图的过程可以看出，不论笔尖 P 移到什么位置，它到定点 F 的距离 | PF | 总是等于它到定直线 l 的距离 | PQ |，这是因为 | PF |＋| PA |＝| PQ |＋| PA |，

【07】所以 | PF |＝| PQ |  。

【08】抛物线的这个几何特征可以用来作为抛物线的定义。

【09】定义.如果平面内的一个动点到一个定点和一条定直线的距离相等，那末这个动点的轨迹叫做抛物线，这个定点叫做抛物线的焦点，用 F 表示，这条定直线叫做抛物线的准线，用 l 表示。焦点到准线的距离 | FK |，叫做焦参数，用 p 表示，p 作为焦点到准线的距离，它的值应该是正的，即 p＞0（这点要特别注意，在以后的计算中，p 总是取正的值）。