【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第四章圆锥曲线——Ⅲ.双曲线 

§4-12用几何方法画出双曲线上的点

【01】根据双曲线的定义，可以用圆规和直尺画出双曲线上的一些点，然后用光滑的曲线顺势连结各点，就可以得到所要画的双曲线。

【02】设双曲线的实轴的长是 2a，焦距是 2c  。

【03】取 F₁，F₂ 作为焦点，且使 | F₁F₂ |＝2c  。另作线段 | A'A |＝2a（图4·43），并在它的延长线上取一点 M，令 | AM |＝t（t ≥ c－a）。

【04】然后分别以 F₁ 和 F₂ 为圆心，以 2a＋t 和 t 为半径作弧交于 P₁ 和 P₁'，则 P₁ 和 P₁' 就是双曲线上的点。这是因为 | P₁F₁ |－| P₁F₂ |＝2a＋t－t＝2a  。

【05】改变 t 的长度，用同样方法画出 P₂ 和 P₂'，P₃ 和 P₃'，……等点。最后用光滑的曲线顺势连接各点，就可以得到双曲线的一支。交换半径或用对称的方法，可以画出双曲线的另一支。在工程上及其他一些实际问题中，通常是用这种方法画双曲线的。

练习

1、设 a＝3，c＝4，根据本节的方法作双曲线。

2、用上面的方法画出双曲线 x²/16－y²/9＝1 的图象。

3、求经过 P(3，－4) 点，并且对称轴都在坐标轴上的等边双曲线的方程。[提示：假定所求等边双曲线的方程是 x²－y²＝K ]

习题4-9~4-12

1、求中心在原点，两对称轴都在坐标轴上，并且适合下列条件的双曲线方程：

(1) 经过 P₁(－3，2√7) 和 P₂(－6√2，－7) 两点；

(2) 渐近线是 y＝±(5/3)x，且经过 P(6，9) 点；

(3) 渐近线是 y＝±2x，且焦点与中心的距离为 5  。

2、求经过 P(2√2 secθ，2√2 tgθ)，并且两对称轴都在坐标轴上的等边双曲线的方程。

3、求与椭圆 x²/49＋y²/24＝1 有公共焦点，且离心率是 e＝1.25 的双曲线方程。

4、求以椭圆 x²/8＋y²/5＝1 的焦点为顶点，而以椭图的顶点为焦点5的双曲线方程。

5、求与双曲线 x²/9－y²/16＝1 有共同的渐进线，并且经过 P(－3，2√3) 点的双曲线方程。

6*、证明双曲线上任意一点到二渐近线的距离的乘积是一个定值。[提示：设 P₀(x₀，y₀) 是双曲线上的任意一点，计算 P₀ 到二渐近线的距离，又 x₀²/a²－y₀²/b²＝1 ]

7、判定当 (1) k＜4，(2) 4＜k＜9 时，方程 x²/(9－k)＋y²(4－k)＝1 的轨迹各是什么曲线。

8、一个动点 P(x，y) 到一定点 F(3，0) 的距离和它到一条定直线 x＝3/4 的距离的比是 2:1，求动点 P 的轨迹。

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