【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第四章圆锥曲线——Ⅴ.抛物线 

§4-15抛物线的性质

1、对称性

【01】在标准方程 y²＝2px 中的 y 用－y 代替，就是 (－y)²＝2px，即 y²＝2px，方程不变，这说明抛物线是对称于 x 轴的。就是说，x 轴是抛物线的对称轴。抛物线只有这一条对称轴，它没有对称中心。

2、截距

【02】在方程(2)中，令 x＝0，则 y＝0，说明抛物线经过原点，抛物线与对称轴只有一个交点，这个交点叫做抛物线的顶点。就是说，抛物线 y²＝2px 的顶点在原点。

3、范围

【03】从方程(2)得 y＝±√(2px)，因为 p＞0，所以 x≥0，当 x 的值无限增大趋于无穷时，y 的值也无限增大趋于正无穷或无限减小趋于负无穷。就是说，抛物线在 y 轴的右侧向上、向下均无限伸延。可见抛物线是无界的曲线。

4、离心率

【04】与椭圆和双曲线一样，我们规定抛物线上的点到焦点的距离和这点到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用 e 表示。根据定义，这两个距离是相等的，所以抛物线的离心率 e＝1  。

【注1】抛物线只有当顶点在原点，对称轴合于 x 轴，且焦点在原点（顶点）右方时，它的方程才是 y²＝2px 的标准形式。

【注2】作一比较，椭圆的离心率 0＜e＜1，双曲线的离心率 e＞1，抛物线的离心率 e＝1  。要明确分清，不能搞错。

例1.求抛物线 y²＝5x 的焦点和准线，并画出它的图形。

【解】

把抛物线方程 y²＝5x 化为标准形式，即 y²＝2·(5/2)x  。

可见 p＝5/2，p/2＝5/4，

所以焦点是 F(5/4，0)，准线是 x＝－5/4，

【注】从方程 y²＝5x 求 p，必须把方程化为标准方程，得 y²＝2·(5/2)x，p＝5/2，不是 p＝5，又焦点是 (p/2，0)，不是 (p，0)  。初学的人，由于疏忽，容易把方程 y²＝5x 中的“5”当作 p，必须很好的理解，认真地对待，才不会出现不必要的错误。

例2.已知抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，且经过 P₁(3/2，－4) 点，求抛物线的方程。

【解】

设抛物线方程为 y²＝2px，它经过 P₁(3/2，－4) 点，

所以 (－4)²＝2p(3/2)，

即 2p＝(16×2)／3＝32/3  。

所以抛物线的方程是 y²＝(32/3)x  。

【注】因为抛物线方程只有一个焦参数 p，一般的情况，只要当抛物线以 x 轴为对称轴，又它的顶点在原点时，则已知一个条件，抛物线的方程就可以决定。在求焦参数时，可以直接求出“2p”，这是因为方程是 y²＝2px  。

例3.汽车的前灯的反射曲面是由一抛物线绕着它的对称轴旋转一周而成的（因此这种反射面也叫做抛物镜面）。已知灯口的直径是 20 厘米，深度（就是顶点到灯口的距离）是 10 厘米，灯泡是装在焦点上的，求灯泡的位置。

【解】

因为灯泡是装在焦点上的，要确定焦点的位置，先要求出抛物线的方程。为此我们取灯的顶点为原点，对称轴为 x 轴，建立坐标系。因为灯口直径 | AB |＝20，深度 | OM |＝10，所以 A 点的坐标是 (10，10)，把 A 点的坐标代入抛物线的方程 y²＝2px 中，得 10²＝2p·10，p＝5，p/2＝5/2  。

所以焦点的位置是 F(5/2，0)，就是说，灯泡应装在离顶点 2.5 厘米处。

练习

1、求下列各抛物线的焦参数、焦点坐标和准线方程，并画出图形：

(1) y²＝10x；

(2) y²＝(3/5)x；

(3) 2y²＝9x  。

2、求以原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线方程：

(1) 经过 P(2，4) 点；

(2) 焦点到顶点的距离是 1/2（焦点在 x 轴的正方向上)；

(3) 焦点到准线的距离是 3/4（同上）。