【格物致知·代数】5-2-15微分概念『微积分初步』

【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第二章导数和微分——三、微分

§2-15微分概念

【01】在实际问题中，有时需要考虑：当自变量有较小的改变时，函数改变多少。如果函数很复杂，计算函数的改变量也就会很复杂。能不能找到一个既简便而又具有较好精确度的计算函数改变量的近似值的方法呢？下面先来分析一个实例。

【02】设有边长为 x 的正方形铁片，加热后边长增加了 △x（图2·4），求铁片的面积约增加多少。

【03】加热前铁片的面积为 y＝f(x)＝x²，当边长增加了 △x，铁片面积的增加量就是函数 f(x) 的改变量 

【04】△y 由两部分组成：一部分是 △x 的线性函数 2x·△x（图2·4中单线阴影部分的面积）；另一部分是 (△x)²（图2·4中双线阴影部分的面积）。

【05】如果以 2x·△x 作为 △y 的近似值，其误差为 Δy－2x·Δx＝(Δx)²  。

【06】这个误差 (△x)² 显然随着 | Δx |（在这个实际问题中，△x＞0，可以去掉绝对值符号）的减小而减小，而且，(△x)² 要比 | △x | 减小得更快些（例如，| △x | 从 0.1 减小到 0.01，(△x)² 就相应地从 0.01 减小到 0.0001），当 | △x | 很小时，(△x)² 比 | △x | 要小得多（例如 | △x |＝10⁻⁵，则 (△x)² ＝10⁻¹º）。因此式子 △y＝2x·△x＋(△x)² 右边的两项中，第一项 2x·△x 是主要部分。当 | △x | 很小时，可认为铁片面积增加量 Δy ≈2x·Δx  。

【07】这样我们可以用计算 2x△x 来代替计算 y＝x² 的改变量 △y，这比计算 △y 来得简便，且有一定的精确度。

【08】由 2x＝(x²)'＝f'(x)，于是在上例中有 △y≈f'(x)·△x  。    (1')

【09】一般地，设函数 y＝f(x) 在点 x 处可导，则 y＝f(x) 在点 x 处的导数 f'(x) 与自变量的改变量 △x 的积叫做函数 y＝f(x) 在点 x 处关于改变量 △x 的微分，简称函数 y 的微分，记作 dy，

【10】即 dy＝f'(x)△x  。    (2)

【11】因此，在 y＝x² 时，△y ≈ f'(x)△x＝dy  。    (2')

【12】即函数的改变量 △y 可用它的微分近似地表示出来。对于一般的可导函数也有同样的结果，我们就不证了。这样，就可以把计算较为复杂的 △y 转化为计算 dy，即只要求出导数值 f'(x) 再乘以 △x 就行了。

例.半径为 10cm 的金属圆片加热后，半径伸长了 0.05cm，求此时刻面积的微分 dA 与 △A－dA 的值。

【解】

以 A 表示圆片的面积，r 表示圆片的半径，则 A＝πr²  。

根据题意，取 r＝10，△r＝0.05  。

这时，dA＝2πr·△r＝2π×10×0.05＝π（cm²）  。

∵ △A＝π(r＋Δr)²－πr²＝2πr·Δr＋π(Δr)²，

∴ △A－dA＝2πr·△r＋π(△r)²－2πr·△r＝π(△r)²＝π(0.05)²＝0.0025π（cm²）  。

答：面积的微分 dA 为 πcm²，△A－dA 为 0.0025πcm²  。

【13】在本例中，如果“加热”改为“冷却”，“伸长”改为“缩短”，这时，可取 r＝10，△r＝－0.05，于是 dA 为－πcm²，△A－dA 为－0.0025πcm²  。

【14】通常把自变量的改变量 △x 记作 dx，即 dx＝△x，称为自变量的微分。于是函数 y＝f(x) 的微分也可以写成 dy＝f'(x)dx  。    (3)

【15】在(3)式两边同时除以 dx，得到 f'(x)＝dy／dx  。这样，函数 y＝f(x) 的导数 f'(x) 就等于函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 的商，所以导数也叫做微商。今后，我们地采用记号 dy／dx 来表示函数 y＝f(x) 的导数 f'(x)，

【16】即   。

【17】我们还采用记号 d²y／dx² 来表示二阶导数 f"(x)，……，采用记号 dⁿy／dxⁿ 来表示阶导数 f⁽ⁿ⁾(x) 等等  。

【18】下面我们来说明函数的微分的几何意义。

【19】设函数 y＝f(x) 在点 x 处可导，如图2·5，在 y＝f(x) 所表示的曲线上取点 P(x，y) 及它邻近的点 P'(x＋△x，y＋△y)，过点 P 及 P' 作 MP 及 M'P' 垂直于 x 轴，分别交 x 轴于点 M 及 M'，过点 P 作平行于 x 轴的直线交 M'P' 于点 N，又作曲线 y＝f(x) 在点 P 处的切线，交 M'P' 于点 T，则

PN＝△x，NP'＝△y，

NT＝f'(x)△x＝dy  。

【20】所以，当自变量的改变量为 △x 时，△y 就是曲线的纵坐标的改变置，dy 就是切线的纵坐标的改变量，这就是函数的微分的几何意义。△y 与 dy 的差的绝对值在图形上是 | TP' |，一般地，它是随着 | △x | 减小而减小，而且要比 | △x | 减小得更快些。所以，当 | △x | 很小时，△y≈dy  。这时，可以用切线的纵坐标的改变量来代替曲线的纵坐标的改变量。用 dy 近似表示 △y，相当于在点 P(x，y) 附近用切线段 PT 近似地代替曲线段 PP'  。这种在一定条件下以直代曲的方法是微分和积分中常用的典型方法。