数学证明周长一定的情况下，正多边形与圆中圆的面积最大

作者：桂の脌_Aug때发布时间：2024-09-21

　　此处我们将采用割圆术、导数、三角函数公式来证明这一命题。

（一）数学建模

　　设正多边形和圆周长为定长c，面积为S，边数为n，其外接圆半径为r，每一边所对应的外接圆圆心角弧度为θ。

　　如上图所示，以正三角形为例，任何正多边形都可以分割为多个边长及其所对圆心角围成的等腰三角形，如图中的△OAB，这样的三角形显然个数等于边数n。这样的等腰三角形又可以沿外接圆圆心作边AB的中垂线、与边AB相交于点M。显然有

$OM%3Dr%C2%B7cos(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%2C%20MA%3Dr%C2%B7sin(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)$

显然MA=MB，故而△OAB的面积为

$S_%E2%96%B3%3Dr%5E2sin(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)cos(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)$

　　对于边数为n的正多边形，这样的等腰三角形有n个，故而得正多边形面积为

$S%3Dnr%5E2sin(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)cos(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)$

①

　　由于类似△OAB这样的等腰三角形的个数对应于正多边形的边数n，而每个边又一一对应于外接圆圆心角θ，一个圆周的弧度为2π，故而有如下关系

$n%3D%5Cfrac%7B2%CF%80%7D%7B%CE%B8%7D%E2%88%88%5B3%2C%20%2B%E2%88%9E)%E2%88%A9N$

②

$%CE%B8%E2%88%88(0%2C%20%5Cfrac%7B2%CF%80%7D%7B3%7D%5D$ 。

　　然而显然在周长c为定值的情况下，外接圆半径r必为变量。观察图1可知，正多边形边长可表示为

$a%3D2rsin(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)$

此即图1中边长AB的长度，也即MA长度的2倍。根据正多边形的性质显然有c=na，代入上式得如下约束条件

$2nrsin(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%3Dc$

③

　　公式③引入了周长c为定值的约束条件，也表明了其与外接圆半径r及边数n的关系。若公式②和公式③联立，则共同约束了公式①中外接圆半径r与圆心角θ的关系。

　　至此，我们可以将公式①、②、③联立，将其化为圆心角θ与多边形及圆的面积S的函数式。

（二）S-θ函数关系式的推导

　　①和③联立，将①中的部分替代简化，整理得

$S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dcrcos(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)$

④

　　②和③联立得

$2%C2%B7%5Cfrac%7B2%CF%80%7D%7B%CE%B8%7Drsin(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%3Dc$

整理得

$r%3D%5Cfrac%7Bc%CE%B8%7D%7B4%CF%80sin(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%7D$

⑤

　　④和⑤联立得

$S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dc%C2%B7%5Cfrac%7Bc%CE%B8%7D%7B4%CF%80sin(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%7Dcos(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)$

整理得

$S%3D%5Cfrac%7Bc%5E2%CE%B8%7D%7B8%CF%80tan(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%7D$

⑥

（三）求S关于θ的导数

　　根据公式⑥，求S关于θ的导数得

$%5Cfrac%7BdS%7D%7Bd%CE%B8%7D%3D%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7B8%CF%80%7D%C2%B7%5Cfrac%7Bd(%CE%B8%2Ftan(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D))%7D%7Bd%CE%B8%7D$

根据导数公式

$%5Cfrac%7Bd%5Bf(x)%2Fg(x)%5D%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bdf(x)%7D%7Bdx%7Dg(x)-f(x)%5Cfrac%7Bdg(x)%7D%7Bdx%7D%7D%7B%5Bg(x)%5D%5E2%7D$

有

$%5Cfrac%7BdS%7D%7Bd%CE%B8%7D%3D%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7B8%CF%80%7D%C2%B7%5Cfrac%7B1%C2%B7tan(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)-%CE%B8%2F2cos%5E2(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%7D%7Btan%5E2(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%7D$

⑦

其中

$%5Cfrac%7Bdtan(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%7D%7Bd%CE%B8%7D%3D%5Cfrac%7Bdtan(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%7D%7Bd(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%7D%C2%B7%5Cfrac%7Bd(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%7D%7Bd%CE%B8%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%C2%B7%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E2(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%7D$

$2cos%5E2(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)$ 得

$%5Cfrac%7BdS%7D%7Bd%CE%B8%7D%3D%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7B8%CF%80%7D%C2%B7%5Cfrac%7B2sin(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)cos(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)-%CE%B8%7D%7B2sin%5E2(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%7D$

又由倍角公式

$sin(2%CE%B8)%3D2sin%CE%B8cos%CE%B8%2C%20cos(2%CE%B8)%3D1-2sin%5E2%CE%B8$

有

$%5Cfrac%7BdS%7D%7Bd%CE%B8%7D%3D%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7B8%CF%80%7D%C2%B7%5Cfrac%7Bsin%CE%B8-%CE%B8%7D%7B1-cos%CE%B8%7D%2C%20%CE%B8%E2%88%88(0%2C%5Cfrac%7B2%CF%80%7D%7B3%7D%5D$

⑧

（四）判断S-θ函数的单调性，并求极值

　　观察公式⑧，S关于θ的导数在定义域(0, 2π/3]内：

（1）左边常数系数为正；

（2）右边分母中cosθ∈(-1, 1)，故1-cosθ>0，即分母为正；

（3）对右边分子求导得d(sinθ-θ)/dθ = cosθ-1，结合（2）知其导数在定义域内为负，故而分子单调递减，取θ最左端值，令θ=0，则分子sinθ-θ = 0，故在定义域内分子必小于0，即分子为负；

因此dS/dθ在定义域内为负，S关于θ的函数单调递减，故而θ取定义域最左端值对应函数即为S的最大值。

　　结合公式②可知，在周长为定值的情况下，正多边形边数n越大，则围成面积约大，为圆形时则取得最大值。

　　现通过取极限的方式来求出S的最大值。

$S_%7Bmax%7D%3D%5Clim_%7B%CE%B8%5Cto0%7D%20S$ ，故而求S在θ接近0时的极限则得S的最大值。（1）观察公式⑥：当θ→0时θ和tan(θ/2)都趋于0；在0的去心邻域内θ和tan(θ/2)的导数都存在，且后者的导数非零。这满足洛必达法则的前两项条件，现求 $%5Clim_%7B%CE%B8%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Bd%CE%B8%2Fd%CE%B8%7D%7Bdtan(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%2Fd%CE%B8%7D$ 以探究其存在性。

$%5Clim_%7B%CE%B8%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Bd%CE%B8%2Fd%CE%B8%7D%7Bdtan(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%2Fd%CE%B8%7D%3D%5Clim_%7B%CE%B8%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2F2cos%5E2(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%7D%3D%5Clim_%7B%CE%B8%5Cto0%7D%202cos%5E2(%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D)%3D2$ ，极限存在，故满足（1）中的洛必达法则的全部三项条件，故知 $%5Clim_%7B%CE%B8%5Cto0%7D%20S%3D%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7B4%CF%80%7D$ 。