【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第二章导数和微分——二、求导方法 

§2-6函数的和、差、积、商的导数

【01】相应于函数极限的四侧运算法则，我们根据导数的定义来导出求导数的四则运算法则，以简化求导数的计算。在下面的公式中，u 及 v 都是 x 的函数，而且都是可导的。

1、和（或差）的导数

法则1.两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。即

【证明】

即 y'＝(u±v)'＝u'±v'  。

【02】这个法则可以推广到任意有限个函数，

【03】即   。

例1.求 y＝x³＋sinx 的导数。

【解】y'＝(x³)'＋(sinx)'＝3x²＋cosx  。

例2.求 y＝x⁴－x²－x＋3 的导数。

【解】y'＝4x³－2x－1  。

2、积的导数

法则2.两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。即

【证明】

因为 f(x) 在点 x 处可导，所以它在点 x 处连续，于是当 △x→0 时，v(x＋△x)→v(x)  。从而

，

即 y'＝(uv)'＝u'v＋uv'  。

【04】从法则2立即可以得出 (Cu)'＝C'u＋Cu'＝0＋Cu'＝Cu'，也就是，常数与函数的积的导数，等于常数乘以函数的导数，即

例3.求 y＝2x³－3x²＋5x－4 的导数。

【解】y'＝6x²－6x＋5  。

例4.求 y＝(2x²＋3)(3x－2) 的导数。

【解】y'＝(2x²＋3)'(3x－2)＋(2x²＋3)(3x－2)'＝4x·(3x－2)＋(2x²＋3)·3＝18x²－8x＋9  。

3、商的导数

法则3.两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方。即

【证明】

因为 v(x) 在点 x 处可导，所以它在点 x 处连续，于是当 △x→0 时，v(x＋△x)→v(x)  。从而

，

即 y'＝(u／v)'＝(u'v－uv')／v²  。

例5.求 y＝x²／sinx 的导数。

  。

例6.求 y＝(x＋3)／(x²＋3) 在点 x＝3 处的导数。

【解】

例7.求证当 n 是负整数时，公式 (xⁿ)'＝nxⁿ⁻¹ 仍然成立。

【证明】

设 n＝－m，则 m 为正整数。

  。

例8.求 y＝2x²－3x＋4－3/x＋2/x² 的导数。

【解】

y＝2x²－3x＋4－3x⁻¹＋2x²，

∴ y'＝4x－3＋3x⁻²－4x⁻³＝4x－3＋3/x²－4/x³  。

练习

1、求下列函数的导数：

(1) y＝3x⁴－23x³＋40x－10；

(2) y＝ax³－bx＋c；

(3) y＝sinx－x＋1；

(4) y＝x²＋2cosx  。

2、填空：

(1) [(3x²＋1)(4x²－3)]'＝(  )(4x²－3)＋(3x²＋1)(  )；

(2) (x³sinx)'＝(  )x²sinx＋a³(  )  。

3、求下列函数的导数：

(1) y＝(3x²＋1)(2－x)；

(2) y＝(1－2x³)(x－3x²)；

(3) y＝(1＋x²)cosx；

(4) y＝(1＋sinx)(1－2x)  。

4、填空：

5、求下列函数的导数：

6、下列做法是否正确？如果不正确，加以改正：