【格物致知·代数】5-3-01一阶导数应用的预备知识『微积分初步』
【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。
第三章导数的应用——一、一阶导数的应用
§3-1预备知识
【01】我们在初中研究了二次函数的极值问题。在高中学过可以根据函数的图象，说出函数 f(x) 的单调区间。现在我们学习了导数，就可以利用导数来直接判断一般函数的单调性和极值。为此，先讲预备知识。
【02】定理1.（罗尔中值定理）如果函数 f(x) 在闭区间 [a，b] 上连续，在开区间 (a，b) 内可导，且在两端点的函数值相等，即 f(a)＝f(b)，那么至少存在一点 ξ∈(a，b)，使 f'(ξ)＝0 。
【03】罗尔定理的几何意义是明显的【罗尔（M.Rolle，1652—1719年），法国数学家】。若函数 f(x) 满足罗尔定理的条件，这就告诉我们，在闭区间 [a，b] 上有一条连续曲线 y＝f(x)，且过曲线上每一点（端点除外）都可以作一条切线，当曲线两端点的纵坐标相等时，那么在曲线上至少能找到一点 (ξ，f(ξ))，ξ∈(a，b)，使曲线在该点的切线平行于 x 轴（图3·1(1)）。
【04】如果函数 y＝f(x) 在区间 [a，b] 上罗尔定理的条件不全满足，那么在区间 (a，b) 内就可能任何点的切线都不与 x 轴平行（图3·1(2)）。
【证明】
令 f(a)＝f(b)＝k，分如下三种情况证明：
1、在闭区间 [a，b] 上，恒有 f(x)＝k 的情况
【05】这时，f(x) 是 [a，b] 上的常数函数，于是 f'(x)＝0，因此罗尔定理对开区间 (a，b) 内任何点皆成立。
2、在 [a，b] 上有点 x，使得 f(x)＞k 的情况
【06】因为 f(x) 为 [a，b] 上的连续函数，根据连续函数性质1，得知在 [a，b] 上存在点 (ξ₁，f(ξ₁)) 为 f(x) 在 [a，b] 上的最大值，即当 a≤x≤b 时，f(x)≤f(ξ₁)， (1)
【07】又因在 [a，b] 上有点 x，使得 f(x)＞k， (2)
【08】由(1)、(2)式得 f(ξ₁)＞k，这说明点 ξ₁ 不可能是 [a，b] 的端点，从而 a＜ξ₁＜b 。
【09】现证 f'(ξ₁)＝0 。
【10】当 a≤ξ₁＋△x≤b 时，对于 △x＞0（或 △x＜0）由(1)式总有
【11】又因 a＜ξ₁＜b，根据定理的条件可知 f'(ξ₁) 存在，所以 f'(ξ₁)＝0 。取 ξ＝ξ₁，定理得证。
3、在 [a，b] 上有点 x，使得 f(x)＜k 的情况
【12】由连续函数性质1，得知在 [a，b] 上存在点 ξ₂，f(ξ₂) 为 f(x) 在 [a，b] 上的最小值。与情况2类似，容易证明 f'(ξ₂)＝0，再取 ξ＝ξ₂，定理证完。
【13】这个定理告诉我们，如果定理所要求的条件满足，那么方程 f'(x)＝0，在 (a，b) 内至少有一个实数根。我们把方程 f'(x)＝0 的根称为函数 f(x) 的驻点（图3·1(1）)。
例1.验证函数 f(x)＝x²－4x 在区间 [1，3] 上是否满足罗尔定理的条件，如果满足，求区间 (1，3) 内满足罗尔定理的 ξ 值。
【解】
函数 f(x)＝x²－4x 在闭区间 [1，3] 上连续，在 (1，3) 内可导，故满足罗尔定理的所有条件，且 f'(x)＝2x－4，所以，根据定理至少存在一点 ξ，ξ∈(1，3)，为方程 f'(x)＝2x－4＝0 的根。因此 x＝2 就是所求的 ξ 。
【14】定理2.（拉格朗日中值定理）如果函数 f(x) 在闭区间 [a，b] 上连续，在开区间 (a，b) 内可导，那么在 (a，b) 内至少有一点 ξ，使得
【15】这个定理的几何意义也是明显的。因为已知导数 f'(ξ) 的几何意义是曲线 y＝f(x) 在点 (ξ，f(ξ)) 处切线的斜率，而 [f(b)－f(a)]／(a－b) 表示 AB 弦的斜率。这样如果函数 f(x) 满足拉格朗日定理的条件【拉格朗日（J.L.Lagrange，1736—1813年），法国数学家】，这就告诉我们，在闭区间 [a，b] 上有一连续曲线，且过曲线 y＝f(x) 上每一点（端点除外）都可以作一条切线，那么在曲线上至少有一点 M(ξ，f(ξ))，ξ∈(a，b)，使得过点 M 的切线与弦 AB 平行（图3·2）。
【分析】
【16】从罗尔定理和拉格朗日定理的条件与几何解释可以看出，罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情形。因为如果函数 f(x) 在区间 [a，b] 上满足拉格朗日定理条件，且 f(x) 在两端点的函数值相等，即 f(a)＝f(b) 时，函数 f(x) 在区间 [a，b] 上也满足罗尔定理条件，所以这种情形的拉格朗日定理就是罗尔定理。下边就利用罗尔定理来证明拉格朗日定理。为此，我们作个辅助函数：φ(x)＝f(x)－kx，并适当选择待定系数 k，使函数 φ(x) 满足罗尔定理的所有条件。
【17】因 f(x)、kx 在 [a，b] 上连续，在 (a，b) 内可导，所以函数 φ(x)＝f(x)－kx 在 [a，b] 上连续，在 (a，b) 内可导，为了使 φ(a)＝φ(b) 也成立，则必须且只须使 f(a)－ka＝f(b)－kb，
【18】即 。
【证明】
【19】作辅助函数：，
【20】由前面分析可知，φ(x) 在 [a，b] 上连续，在 (a，b) 内可导，且 φ(a)＝φ(b)，即罗尔定理的条件皆满足，根据罗尔定理可知，至少存在一点 ξ∈(a，b)，使 φ'(ξ)＝0，
【21】这个定理告诉我们，如果定理所要求的条件已满足，那么，在 (a，b) 内至少存在一个点 ξ，当 x＝ξ 时，等式 f'(ξ)＝[f(b)－f(a)]／(b－a) 成立，
【22】也就是说方程 f'(x)＝[f(b)－f(a)]／(b－a) 在 (a，b) 内至少有一个实根。
【23】为了便于应用，拉格朗日定理的结论，通常写成如下形式：f(b)－f(a)＝f'(ξ)(b－a)，a＜ξ＜b 。
例2.求函数 f(x)＝x³ 在 (－1，2) 内，满足中值定理 f(b)－f(a)＝f'(ξ)(b－a) 的点的值。
【解】
因为 f'(x)＝3x²，f(2)＝8，f(－1)＝－1，
满足中值定理的 ξ 应有，f(2)－f(－1)＝3ξ²[2－(－1)]，
即 9＝9ξ²，
得 ξ＝±1 。
1∈(－1，2)，－1∉(－1，2)，
所以 ξ＝1 。
例3.当 x＞1 时，证明不等式 eˣ＞ex 成立。
【解】
令 f(x)＝eˣ，
则 f'(x)＝eˣ，
由于函数 f(x)＝eˣ 在区间 [1，x] 上满足拉格朗日定理条件，所以在 (1，x) 内至少存在一点 ξ，
使 eˣ－e¹＝eᵗ(x－1) (1) 成立，
又 eˣ 为增函数，且 1＜ξ＜x，于是 e¹＜eᵗ 。 (2)
将(2)式代入(1)式得 eˣ－e＞e(x－1) 。
即 eˣ＞ex 。
练习
1、说明下列函数在给定区间上，罗尔定理是否成立。如果成立，求 ξ 值；如果不成立，说明理由：
(1) f(x)＝sinx，x∈[0，2π]；
(2) f(x)＝| x |，x∈[－1，1]；
(3) f(x)＝x³，x∈[0，1]；
2、如果函数 f(x) 满足下列条件之一，讨论拉格朗日中值定理是否成立：
(1) 函数 f(x) 在 (a，b) 内可导；
(2) 函数 f(x) 在 [a，b] 上可导；
(3) 函数 f(x) 在 (a，b] 可导；
(4) 函数 f(x) 在 [a，b) 可导。
3、求函数 f(x)＝x³＋2x 在下列区间内，满足拉格朗日中值定理的 ξ 值。
(1) [0，1]；
(2) [1，2]；
(3) [－1，2] 。
习题九
1、对下列函数检验罗尔定理是否成立：
(1) f(x)＝(x－1)(x－2)，x∈[1，2]；
(2) f(x)＝| x |－1，x∈[－1，1]；
(3) f(x)＝³√x²，x∈[－1，1]；
(4) f(x)＝x－[x]，x∈[0，1] 。
2、求出函数 f(x)＝x³ 在区间 [a，b] 内，满足拉格朗日中值定理的 ξ 值。
3、求下列函数满足 f(b)－f(a)＝f'(ξ)(b－a)，a＜ξ＜b 的 ξ 值：
(1) f(x)＝x²－2x＋2，a＝－1，b＝1；
(2) f(x)＝x³－x²，a＝0，b＝1；
(3) f(x)＝6/x，a＝2，b＝3 。
4、利用拉格朗日中值定理，证明下列不等式：
(1) | sinx₁－sinx₂ | ≤ | x₁－x₂ |；
(2) | arctgx₁－arctgx₂ | ≤ | x₁－x₂ |；
(3) 当 0 ≤ a＜b 时，eᵇ－eᵃ＞b－a 。
5、证明：若函数 f(x) 在 [a，b] 上有二阶导数，且 f(a)＝f(b)＝0，f(c)＝0（a＜c＜b），则在 (a，b) 内至少存在一点 ξ，使得 f"(ξ)＝0 。