【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第四章圆锥曲线——Ⅲ.双曲线 

§4-10双曲线的标准方程

【01】现在我们从双曲线的定义出发来推导双曲线的方程。与椭圆的情形一样，首先要在双曲线的平面上建立坐标系。取焦点 F₁ 和 F₂ 的连线作为 x 轴，F₁F₂ 的垂直平分线为 y 轴，交点 O 作为原点（图4·33）。

【02】设焦距 | F₁F₂ |＝2c（c＞0），则两个焦点的坐标分别为 (－c，0) 和 (c，0)  。

【03】设 P(x，y) 是双曲线上的任意一点，根据定义，它到焦点 F₁ 和 F₂ 的距离的差的绝对值为定长 2a（a＞0），则有 | PF₁ |－| PF₂ |＝±2a【用 2c 和 2a 只是为了推导方程时的方便。如 P 是双曲线右面一支上的点，则 | PF₁ |－| PF₂ |＝2a，如 P 是左面一支上的点，则 | PF₁ |－| PF₂ |＝－2a】

【04】用两点间的距离公式可得

【05】所以双曲线的方程是

  。    (1)

【06】这个方程说明了在双曲线上的点到两个焦点间的距离的差的绝对值等于 2a，因此它就是双曲线的方程，但它不够简单，我们要尽可能地把它化简。

【07】在 △PF₁F₂ 中，因为 | PF₁ |－| PF₂ |＜| F₁F₂ |（两边之差小于第三边），即 2a＜2c，c＞a，所以 c²－a²＞0，令 c²－a²＝b²，于是方程(2)可化成 b²x²－a²y²＝a²b²，

【08】就是   。    (3)

【09】方程(3)是由方程(1)经过平方化简后而得到的，所以双曲线上的点的坐标必定满足方程(3)，但是在化简过程中，我们用过两次平方，因此我们还得说明满足方程(3)的实数对 (x₀，y₀) 是不是也满足方程(1)，也就是说以 (x₀，y₀) 为坐标的点是不是在双曲线上。下面我们就来做这个检验。

【10】设 P₀(x₀，y₀) 满足方程(3)，就是 ，

【11】得   。（∵ b²＝c²－a²）

【12】现在来计算 | P₀F₁ | 和 | P₀F₂ |，

【13】与椭圆的情形一样，为了求出 | P₀F₁ |－| P₀F₂ | 的值，就是为了计算 | (c/a)x₀＋a | 和 | (c/a)x₀－a | 的值，必须讨论 (c/a)x₀ 与 a 的大小关系，才能去掉绝对值的符号。

【14】由 x₀²/a²－y₀²/b²＝1，可知 x₀²/a² ≥1，就是 | x₀ | ≥ a  。，又因为 c＞a，所以 c/a＞1， 因此 | (c/a)x₀ |＞a，从这个绝对值不等式可得 (c/a)x₀＞a 或 (c/a)x₀＜－a  。

【15】这里有两种情况：

【16】综合(1)，(2)可写成   。

【17】计算的结果，说明了 P₀ 到 F₁ 和 F₂ 间的距离的差的绝对值等于 2a，也就是说，P₀ 点确是在双曲线上，方程(3)确是双曲线的方程。

【18】我们把方程  称为双曲线的标准方程。

【注1】方程中的 a 是表示双曲线上的点到两个焦点间的距离的差的一半。在 △PF₁F₂ 中，| PF₁ |－| PF₂ |＜| F₁F₂ |，所以 2a＜2c，a＜c，c/a＞1，c²＝a²＋b²  。这个关系式与椭圆里的关系式不同。在椭圆里是 a＞c，c/a＜1，a²＝b²＋c²  。要仔细观察，彻底地理解。

【注2】注意椭圆方程与双曲线的方程仅相差一个符号，这里 y²/b² 前的符号是“－”的。

例.已知双曲线的焦点是 F₁(－4，0) 和 F₂(4，0)，曲线上的点到两焦点间的距离的差是 6，求这双曲线的方程。

【解】由焦点坐标可知 c＝4，又 2a＝6，a＝3，所以 b²＝c²－a²＝16－9＝7，因此双曲线的方程是 x²/9－y²/7＝1  。

练习

根据下列所给的条件写出双曲线的标准方程（中心在原点，焦点在 x 轴上）：

(1) a＝4，b＝3；

(2) a＝5，一个焦点是 F(－6，0)；

(3) | F₁F₂ |＝8，b＝4；

(4) | F₁F₂ |＝8，a＝2  。