【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。  

第五章坐标变换和二元二次方程的讨论

§5-8经过五点的圆曲线

【01】我们知道两个独立条件确定一条直线。一般的圆锥曲线是 Ax²＋Bxy＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0（A，B，C 不同时等于零），设 B≠0，以 B 除方程的各项，

【02】得   。

【03】可以看到，在 A，B，C，D，E，F 六个系数中五个是独立的。就是说，一般的要五个独立条件才能确定一条圆锥曲线。

例.求过 P₁(1，－1)，P₂(2，3)，P₃(2，－5)，P₄(5，7)，P₅(－2，－9) 五点的圆锥曲线。

【解】解这问题有两种方法。

第一法：假定圆锥曲线方程是

 Ax²＋Bxy＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0，    (1)

把五点的坐标分别代入，就得到

设 B≠0，就 B 解这方程组得

A＝－2B， C＝－(1/14)B， D＝(57/7)B，E＝－(15/7)B，F＝－(101/14)B，

代入(1)式化简就得到（因 B≠0，所以把 B 除去了）

28x²－14xy＋y²－114x＋30y＋101＝0，

这就是经过所给五点的圆锥曲线方程，今 ∆＝14²－4.28＞0，所以它的图象是双曲线。

第二法：设 P₁P₂ 代表通过 P₁，P₂ 两点的直线方程，……

今

P₁P₂：4x－y－5＝0；

P₃P₄：4x－y－13＝0；

P₂P₃：x－2＝0；

P₄P₁：2x－y－3＝0  。

则通过 P₁，P₂，P₃，P₄ 四点的曲线系方程是 (4x－y－5)(4x－y－13)＋λ(x－2)(2x－y－3)＝0  。    (2)【它是两次方程，所以它的图象是圆锥曲线，又显然可看出 P₁，P₂，P₃，P₄ 的坐标均适合这方程的，所以它的图象经过这四点】

如果(2)也经过 P₅，则用 P₅(－2，－9) 的坐标代入必定适合，

即 (－4)·(－12)＋λ(－4)·(2)＝0，∴ λ＝6  。

将 λ 值代入(2)并化简得所求曲线方程为，28x²－14xy＋y²－114x＋30y＋101＝0  。

【注1】决定一抛物线只需四点，因为有另一条件 B²＝4AC  。

【注2】决定一圆只需三点，因为有另两条件，A＝C，B＝0  。

【注3】假使已知有心圆锥曲线的中心在原点，两坐标轴是它的对称轴，那只要两点就可以了，因为此时 B＝0，D＝0，E＝0  。

练习

1、求下列各题的圆锥曲线方程，已知它分别经过五点：

(1) (1，1)，(－1，5)，(2，4)，(0，3)，(3，1)；答：6x²＋5xy＋y²－29x－13y＋30＝0  。

(2) (0，a)，(a，0)，(0，－a)，(－a，0)，(a，a)  。答：x²－xy＋y²－a²＝0  。

2、求一抛物线的方程，已知它经过四点 (1，－1)，(2，3)，(2，－5)，(5，7)  。

答：y²－16x＋2y＋17＝0，或两平行线 4x－y－5＝0，4x－y－13＝0  。

[提示：用第二法做，(P₁P₂)(P₃P₄)＋λ(P₂P₃)(P₄P₁)＝0，又 ∆＝0 ]