【格物致知·几何】5-5-03方程Ax²＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论『数理化自学丛书』

作者：山嵓发布时间：2024-09-13

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第五章坐标变换和二元二次方程的讨论

§5-3方程 Ax²＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0 的讨论

【01】缺少 xy 项的二元二次方程的一般形式是 Ax²＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0，对于这一类形式的方程，在前一节里我们已经通过具体例子，利用移轴进行化简了。现在我们来进行一般性的讨论，研究方程 Ax²＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0 (1) 的轨迹。

1、A，C 都不是 0（即 AC ≠ 0）

【02】我们按照含有 x，y 各项分别集合排列，

【03】得 (Ax²＋Dx)＋(Cy²＋Ey)＝－F，

【04】配平方得

$%5Cscriptsize%0AA%5Cleft(x%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7BD%7D%7BA%7Dx%2B%5Cfrac%7BD%5E%7B2%7D%7D%7B4A%5E%7B2%7D%7D%5Cright)%2BC%5Cleft(y%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7BE%7D%7BC%7D%20y%2B%5Cfrac%7BE%5E%7B2%7D%7D%7B4C%5E%7B2%7D%7D%5Cright)%20%0A%3D%5Cfrac%7BD%5E%7B3%7D%7D%7B4A%7D%2B%5Cfrac%7BE%5E%7B2%7D%7D%7B4C%7D-F$ ，

【05】就是

$%5Cscriptsize%20A%5Cleft(x%2B%5Cfrac%7BD%7D%7B2A%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%2BC%5Cleft(y%2B%5Cfrac%7BE%7D%7B2C%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%3D%5Cfrac%7BCD%5E%7B2%7D%2BAE%5E%7B2%7D-4ACF%7D%7B4AC%7D$ ， (2)

【06】(2)式右边的式子用 F' 代替，就得到

$%5Cscriptsize%20A%5Cleft(x%2B%5Cfrac%7BD%7D%7B2A%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%2BC%5Cleft(y%2B%5Cfrac%7BE%7D%7B2C%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%3DF%5E%7B%5Cprime%7D$ ， (3)

【07】根据平移公式，有

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3Dx%5E%7B%5Cprime%7D-%5Cfrac%7BD%7D%7B2A%7D%2C%5Cquad%5Cdot%7B%5Cleft(h--%5Cfrac%7BD%7D%7B2A%7D%5Cright)%7D%5C%5Cy%3Dy%5E%7B%5Cprime%7D-%5Cfrac%7BE%7D%7B2C%7D.%5Cquad%5Cleft(k%3D-%5Cfrac%7BE%7D%7B2C%7D%5Cright)%5Cend%7Bcases%7D$

【08】代入(3)式得 Ax'²＋Cy'²＝F' 。 (4)

【09】它是有心圆锥曲线型方程（它的轨迹是椭圆或双曲线）。

2、A，C 中有一个是 0（假定 A＝0，C≠0）

【10】则原(1)式为 Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0， (5)

【11】可化成

$%5Cscriptsize%20C%5CBig(y%2B%5Cfrac%7BE%7D%7B2C%7D%5CBig)%5E%7B2%7D%3D-D%5CBig(x-%5Cfrac%7BE%5E%7B2%7D-4CF%7D%7B4CD%7D%5CBig)$ ， (6)

【12】由平移公式

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3Dx%5E%7B%5Cprime%7D%2B%5Cfrac%7BE%5E%7B2%7D-4CF%7D%7B4CD%7D%2C%26%5Cleft(h-%5Cfrac%7BE%5E%7B2%7D-4CF%7D%7B4CD%7D%5Cright)%5C%5Cy-y%5E%7B%5Cprime%7D-%5Cfrac%7BE%7D%7B2C%7D.%26%5Cleft(k%3D-%5Cfrac%7BE%7D%7B2C%7D%5Cright)%5Cend%7Bcases%7D$

【13】代入上式可变为 $%5Cscriptsize%20y%5E%7B%5Cprime3%7D%3D-%5Cfrac%7BD%7D%7BC%7Dx%5E%7B%5Cprime%7D$ ， (7)

【14】它是抛物线型方程。

【15】归结上面所述，对于缺少 xy 项的一般二次方程，它们所表示的图象是：

(1) 如 AC≠0，它的图象是有心圆锥曲线，这方程可化成下面的形式 Ax'²＋Cy'²＝F' 。

(ⅰ) AC＞0（即 A，C 同号）

① AF'＞0（即 A，C，F' 都同号）它的图象是椭圆。

② F'＝0，它的图象是一点（也称点椭圆）。

③ AF'＜0（即 A，C 同号而与 F' 异号）无轨迹（也称虚椭圆）。

(ⅱ) AC＜0（即 A，C 异号）

① F'≠0，它的图象是双曲线。

② F'＝0，它的图象是两条相交直线。

(2) 如 AC＝0（即当 A 或 C 有一个是 0 时）。假定 A＝0，C≠0，从(7)式可知是抛物线型方程。

(ⅰ) D≠0，它的图象是抛物线，

(ⅱ) D＝0，由(5)式得 Cy²＋Ey＋F＝0，它的图象是两平行线或两条相重合的直线或无轨迹（或称两条虚平行线）。

（在 C＝0，A≠0 时，可以推到与上面所讨论的同样情形。）

【16】从上面的讨论，我们可以知道，在方程 Ax²＋Cy²＋Dx＋Ey＋F－0 中

1、假使是 AC＞0，又它的图象是椭圆时，从(3)式可变为

2、假使是 AC＜0，又它的图象是双曲线时，从(3)式可变为

3、假使是 AC＝0，又它的图象是抛物线时，从(7)式可变为

【注】本节的甲，乙，丙各式都可以作为典型的方程而直接加以应用，例如：

1、知道了一个椭圆的两条对称轴分别平行于两坐标轴，又知道它的中心的坐标和它的长轴、短轴的长度，以及长轴的位置，就可以从甲或甲'式直接写出它的方程。

2、知道了一个双曲线的两条对称轴分别平行于两坐标轴，又知道它的中心的坐标和它的实轴、虚轴的长度，以及实轴的位置，就可以从乙或乙'式直接写出它的方程。

3、知道了一个抛物线的对称轴平行于一条坐标轴，又知道它的顶点的坐标和准线到焦点的距离，就可以从丙或丙式直接写出它的方程。

例1.写出一个椭圆方程并描它的图，已知它的长轴的两端点的坐标是 (－2，4)，(－2，－2)；又半焦距 c＝√5 。

【解】

今长轴两端点为 A(－2，4)，A'(－2，－2)，可知焦点在 x＝－2 线上，

又 2a＝4－(－2)＝6，

∴ a＝3，b＝√(a²－c²)＝√(9－5)＝2，

两对称轴为 x＝－2，y＝1，中心在点 (－2，1) 。

$%5Cscriptsize%5Cfrac%7B(x%2B2)%5E2%7D4%2B%5Cfrac%7B(y-1)%5E2%7D9%3D1$ ， (1)

就是 9x²＋4y²＋36x－8y＋4＝0 。

以 (－2，1) 作为新原点，平移坐标轴，

$%5Cscriptsize%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx-x'-2%2C%5C%5Cy-y'%2B1%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

$%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Cprime2%7D%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B%5Cprime2%7D%7D%7B9%7D%3D1$ 。 (2)

照(2)式在新坐标系上作曲线，它的图象如图5·6 。

例2.已知一个双曲线的半实轴 a＝2，两焦点是 (2，2)，(2，－4)，求它的方程并描它的图。

【解】

这双曲线焦点是 F(2，2) 和 F'(2，－4)，

所以 2c＝2－(－4)＝6，

∴ c＝3 。

今 a＝2，

∴ b＝√(c²－a²)＝√5 。

实轴在 x＝2 线上，虚轴在 y＝－1 线上，中心在 (2，－1) 。

$%5Cscriptsize-%5Cfrac%7B(x-2)%5E2%7D5%2B%5Cfrac%7B(y%2B1)%5E2%7D4%3D1$ ， (1)

就是 4x²－5y2－16x－10y－31＝0 。

以 (2，－1) 作为新原点，通过移轴，用

$%5Cscriptsize%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7Bx%3Dx%5E%7B%5Cprime%7D%2B2%2C%7D%5C%5C%7By%3Dy%5E%7B%5Cprime%7D-1%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

代入(1)式得 4x'²－5y'²＋20＝0 。 (2)

照(2)式在新坐标系描曲线，它的图象如图5·7 。

例3.已知一抛物线的焦点是 F(3/8，－3)，准线是 x＝13/8，写出它的方程并描它的图。

【解】

抛物线的准线是 x＝13/8，，焦点在 (3/8，－3)，所以 p＝5/4（即焦点到准线的距离），轴在 y＋3＝0 线上，顶点的坐标是 (1，－3)，因为焦点在准线的左方，所以从丙式得抛物线的方程是 (y＋3)²＝－(5/2)(x－1)， (1)

即 2y²＋5x＋12y＋13＝0 。

以 (1，－一3) 为新原点，通过移轴，

$%5Cscriptsize%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3Dx'%2B1%2C%5C%5Cy-y'-3%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

代入(1)式得 y'²＝－(5/2)x' 。

它的图象同5·2节例2（见图5·4）。

【注】对于例1，2，3这种类型的习题，应当从所给条件把已知的点或直线等先行作出，对照图象考虑问题，这样做比较便利，并且可以减少错误。

练习

应用本节甲，乙，丙各式写出下面的方程，并且把它化成一般形式方程（不必作图）：

(1) 一圆，中心在 (1，－3)，半径是 4；答：x²＋y²－2x＋6y－6＝0 。

(2) 一椭圆，它的对称轴平行于坐标轴，中心在 (－2，1)，a＝3，b＝2，焦点在直线 y－1＝0 上；答：4x²＋9y²＋16x－18y－11＝0 。

(3) 在上题中，设焦点在直线 x＋2＝0 上，那末方程又如何？答：9x²＋4y²＋36x－8y＋4＝0 。

(4) 一双曲线，它的实轴合于 x－1＝0，中心在 (1，－3)，又 a＝1，b＝1；答：x²－y²－2x－6y－7＝0 。

(5) 在上题中，设实轴合于 y＋3＝0，那末方程又如何？答：x²－y²－2x－6y－9＝0 。

(6) 一抛物线顶点在 (－3，1)，p＝5/4，准线平行于 y，曲线向左伸展。答：2y²＋5x－4y＋17＝0 。

习题5-1~5-3

1、利用移轴公式化简下列各方程，并且描出它的图象：

(1) 16x²＋25y²＋64x－150y－111＝0；

(2) x²－4y²－4x－24y－16＝0；

(3) x²＋4y²－2x＋16y＋17＝0；

(4) 4x²－y²－24x＋16y＋17＝0；

(5) x²＋6x－8y＋17＝0 。

2、利用配方法把第一题各方程化简。

3、用移轴法化简方程 x²－6x＋9＝y³－6y²＋12y－8，并描绘它的图象。[提示：两边先各自分解因式，再移项]

4、写出抛物线方程，并且描出它的曲线，已知：

(1) 顶点在 (1，3)，p＝5/4，准线平行于 y 轴，曲线张口向右伸展；又如这曲线向左伸展则它的方程又如何？

(2) 焦点在 (－3，3)，准线是 y＋1＝0 。

5、写出椭圆方程，并且描出它的曲线，已知：

(1) 短轴两端的坐标分别是 (－2，3)，(－2，－1)，又 c＝√5；

(2) 长轴长是 10，焦点相距是 6，长轴合于直线 x＋2＝0 上，又中心在 (－2，3) 。

6、写出下列各双曲线方程，并且描绘它的图象，已知：

(1) 焦点在 (1＋2√3，－3)，(1－2√2，－3)，又实轴的长度与虚轴的长度相等；

(2) 实轴长 2√3，两焦点在 (0，0) 和 (0，－4) 。

【

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%261.(1)%2016x%5E%7B%5Cprime2%7D%2B25y%5E%7B%5Cprime2%7D-400%3D0%3B%5C%5C%0A%26%20(2)%20x%5E%7B%5Cprime2%7D%2B4y%5E%7B%5Cprime2%7D%2B16%3D0%3B%5C%5C%0A%26(3)%20x%5E%7B%5Cprime2%7D%2B4y%5E%7B%5Cprime2%7D%3D0%3B%20%5C%5C%0A%26(4)%204x%5E%7B%5Cprime2%7D-y%5E%7B%5Cprime2%7D%2B45%3D0%3B%5C%5C%0A%26%20(5)%20x%5E%7B%5Cprime2%7D-8y%5E%7B%5Cprime%7D%3D0.%5C%5C%0A%262.%20%5Ctext%7B%E5%90%8C%E4%B8%8A%E9%A2%98%7D.%5C%5C%0A%263.%20x%5E%7B%5Cprime2%7D%3Dy%5E%7B%5Cprime3%7D.%5C%5C%0A%264.(1)%20(y-3)%5E%7B2%7D%3D%5Cpm%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D(x-1)%3B%20%5C%5C%0A%26(2)%20(x%2B3)%5E%7B2%7D%3D8(y-1).%5C%5C%0A%265.(1)%204(x%2B2)%5E%7B2%7D%2B9(y-1)%5E%7B2%7D%3D36%3B%5C%5C%0A%26(2)%2025(x%2B2)%5E%7B2%7D%2B16(y-3)%5E%7B2%7D%3D400.%5C%5C%266.(1)%20(x-1)%5E%7B2%7D-(y%2B3)%5E%7B2%7D%3D4%3B%5C%5C%0A%26%20(2)%203x%5E%7B2%7D-(y%2B2)%5E%7B2%7D%2B3%3D0.%5Cend%7Baligned%7D$