【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第二章导数和微分——三、微分

§2-17近似计算

【01】我们知道，当 | △x | 很小时，可以用微分 dy 近似代替函数 y＝f(x) 的改变量 △y  。由于在点 x₀ 处，

dy＝f'(x₀)△x，

△y＝f(x₀＋△x)－f(x₀)，

【02】于是有 f(x₀＋△x)－f(x₀)≈f'(x₀)△x，

【03】改写一下，得 f(x₀＋△x)≈f(x₀)＋f'(x₀)△x  。    (1)

【04】如果把 x₀＋△x 记作 x，那么 △x＝x－x₀，于是(1)式也可写成 

f(x)≈f(x₀)＋f'(x₀)(x－x₀)  。    (2)

【05】如果我们要求函数 y＝f(x) 在某一点 x 处的值，但这点的值不易求出，而在 x 附近的 x₀ 处，f(x₀) 和 f'(x₀) 的值都容易求出，这时，我们可以利用(2)式（或(1)式）来求 f(x) 的近似值。要注意的是这里要求 | x－x₀ |＝| △x | 很小，| x－x₀ | 越小，近似程度越好。

例1.不查表，求 sin46° 的近似值。

【解】

令 y＝sinx，由(2)式，

sinx≈sinx₀＋cosx₀·(x－x₀)  。

因为 46°＝45°＋1°＝(π/4＋π/180) 弧度，

取 x₀＝π/4，x＝π/4＋π/180，于是 x－x₀＝π/180，代入上式得

【06】如果把(2)式中的 x 看成变量，(2)式右边就是 x 的一次函数。也就是说，当 | x－x₀ | 很小时，可以用一次函数 y＝f(x₀)＋f'(x₀)(x－x₀) 来近似表示函数 y＝f(x)；从几何上看，也就是在点 (x₀，y₀) 附近，用曲线 y＝(x) 上点 (x₀，y₀) 处的切线 y－y₀＝f'(x₀)(x－x₀) 来近似表示曲线 y＝f(x)  。

【07】当 x₀＝0 时，(2)式变为 f(x)≈f(0)＋f'(0)x  。    (3)

【08】利用(3)式，当 | x | 充分小时，可以导出常用的一些近似公式：

【09】下面写出这些近似公式的导出过程。

(1°)

取 f(x)＝√(1＋x)，

则 f'(x)＝1／2√(1＋x)，

于是 f(0)＝1，f'(0)＝1/2  。

由(3)式，得 √(1＋x)＝f(x)≈f(0)＋f'(0)x＝1＋x/2，

即 √(1＋x)＝1＋x/2  。

(2°)

取 f(x)＝ln(1＋x)，

则 f'(x)＝1／(1＋x)，

于是 f(0)＝0，f'(0)＝1  。

由(3)式，得 ln(1＋x)≈x  。

(3°)

取 f(x)＝eˣ，

则 f'(x)＝eˣ，

于是 f(0)＝1，f'(0)＝1  。

由(3)式，得 eˣ≈1＋x  。

(4°)

取 f(x)＝tgx，

则 f'(x)＝sec²x，

于是 f(0)＝0，f'(0)＝1  。

由(3)式，得 tgx≈x  。

例2.根据导出的近似公式，求下列各式的近似值：

(1) √4.01，√8.997；

(2) ln1.002，ln0.998；

(3) eº·º¹，e⁻º·º²  。

【解】

(1)

√4.01＝√[4(1＋0.01/4)]＝2√(1＋0.01/4)  。

利用公式(1°)，取 x＝0.01/4，

得 √4.01≈2[1＋0.01/(2×4)]＝2.0025  。

√8.997＝√[9(1－0.003/9)]＝3√(1－0.003/9)  。

利用公式(1°)，取 x＝－0.003/9，

得 √8.997≈3[1－0.003/(2×9)]＝2.9995  。 

(2)

利用公式(2°)，

取 x＝0.002，得 ln1.002＝ln(1＋0.002)≈0.002  。

取 x＝－0.002，得 ln0.998＝ln(1－0.002)≈－0.002  。

(3)

利用公式(3°)，

取 x＝0.01，得 eº·º¹≈1＋0.01＝1.01  。

取 x＝－0.02，得 e⁻º·º2≈1－0.02＝0.98  。

例3.如图2·6，加工锥形工件时，已知工件两头直径分别为 d₁，d₂，长度为 l，当斜角 α 很小时，导出近似关系式：α≈28.6°×(d₁－d₂)／l  。

【解】

由图，tgα＝(d₁－d₂)／2l  。

当 α 很小时，根据公式(4°)，tgα≈α，

∴ α ≈ (d₁－d₂)／2l  。 

又 1 弧度＝(180/π)° ≈ 57.3°，

∴ α ≈ 57.3°×[(d₁－d₂)／2l ] ≈ 28.6°×[(d₁－d₂)／l ]  。

练习

1、在例1中，x－x₀＝π/180，是用弧度为单位，为什么？如果用度为单位，取 x－x₀＝1，得出的结果对不对？

2、已知 ln10＝2.3026，利用 f(x)≈f(x₀)＋f'(x₀)(x－x₀) 求 ln10.012 的近似值。

3、当 | x | 很小时，导出下列近似公式：

4、计算下列各式的近似值：

习题八

1、

(1) 在下列图形中，标出相应的 △y 和 dy  。

(2) 自变量 x 的微分 dx 是否一定为正？当 dx 为正时，函数 y＝f(x) 的微分 dy 是否一定为正？

2、求下列函数的微分：

3、求函数 y＝x³ 在自变量的值由 x＝1 变为 x＋△x＝1.01 时的改变量 △y 及 dy  。用 dy 来近似地代替 △y 的误差是多少？

4、某运动方程为 s＝4t²，其中 t 的单位是秒，s 的单位是米，求 t＝2秒，△t＝0.001秒时路程的改变量 △s 及路程的微分 ds，并加以比较。

5、一金属圆管的内半径为 10cm，厚度为 0.05cm，求圆管的横截面积的近似值。

6、球壳的外直径是 30cm，厚度是 0.1cm，求球壳体积的近似值。

7、要在直径为 50cm 的半球面形锅的内侧镀锌（锌的比重为 7g/cm³），镀层厚 0.005cm，约需用锌多少克？

8、计算下列各式的近似值：

9、当 | x | 很小时，导出近似公式：

并求 1.001º·¹³ 的近似值。