【格物致知·代数】5-5-07本章复习（定积分及其应用）『微积分初步』

作者：山嵓发布时间：2024-09-28

【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第五章定积分及其应用

小结

一、本章主要内容是定积分的概念、计算及其简单应用。

二、定积分的概念是从求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题引入的。解决这类问题都是通过分割，取近似，最后归结为求一种和式的极限：

$%5Csmall%20%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Df(%5Cxi_%7Bi%7D)%5CDelta%20x$ （其中 f(x) 为区间 [a，b] 上的连续函数，把区间 [a，b] n 等分后，△x＝(b－a)／n，而 ξi 是第 i 个小区间上的任意一点）。

这个极限叫做函数 f(x) 在区间 [a，b] 上的定积分，

$%5Csmall%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)dx%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Df(%5Cxi_%7Bi%7D)%5CDelta%20x$ 。

$%5Csmall%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x%20)dx%3DF(b)-F(a)$ ，

$%5Cscriptsize%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)dx$ ，等于它的任一原函数 F(x) 在区间 [a，b] 上的改变量 F(b)－F(a) 。这个公式是定积分与原函数之间的关系式，它使定积分的计算大为简化。

四、定积分的一些简单应用：

1、求曲边梯形的面积，

$%5Csmall%20S%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)dx$ ；

2、求旋转体的体积，

$%5Csmall%20V%3D%5Cpi%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Bf(x)%5D%5E%7B2%7D%20dx$ ；

3、求平面曲线弧长，

$%5Csmall%20l%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Csqrt%7B1%2B%5Bf%5E%7B%5Cprime%7D(x)%5D%5E%7B2%7D%7Ddx$ ；

4、求旋转体的侧面积，

$%5Csmall%20S%3D2%5Cpi%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)%5Csqrt%7B1%2B%5Bf%5E%7B%5Cprime%7D(x)%5D%5E%7B2%7D%7D%20dx$ 。

复习参考题五

A组

1、计算定积分：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(1)%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Ba%7D(3x%5E%7B2%7D-x%2B1)%20dx%3B%20%5C%5C%0A%26(2)%20%5Cint_%7B1%7D%5E%7B2%7D%5Cbiggl(x%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B4%7D%7D%5Cbiggr)dx%3B%20%5C%5C%0A%26(3)%5Cint_%7B2%7D%5E%7B4%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7B3%7D-3x%5E%7B2%7D%2B5%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7Ddx%3B%20%5C%5C%0A%26(4)%20%5Cint_%7B1%7D%5E%7B3%7Dy%5E%7B2%7D%5Cleft(y-2%5Cright)dy%3B%20%5C%5C%0A%26(5)%20%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B1%7Dx(x-3)dx%3B%20%5C%5C%0A%26(6)%5Cint_%7B-2%7D%5E%7B2%7D(6x%5E%7B3%7D%2Bx%2B1)dx%3B%20%5C%5C%0A%26(7)%20%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B1%7D%5Cbiggl(x%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E%7B2%7D%2B1%7D%5Cbiggr)dx%3B%20%5C%5C%0A%26(8)%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B4-3x%7Ddx%3B%20%5C%5C%0A%26(9)%20%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5E%7B1%7D%5Csqrt%7B3-2x%7Ddx.%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

2、计算定积分：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26(1)%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7D%5Csqrt%7B1-%5Ccos2x%7Ddx%3B%5C%5C%26(2)%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5Ccos%5E%7B2%7Dudu%3B%5C%5C%0A%26(3)%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%7D%5Cmathrm%7Btg%7D%5E%7B2%7D%5Ctheta%20d%5Ctheta%3B%20%5C%5C%0A%26(4)%20%5Cint_%7B%5Cfrac%5Cpi3%7D%5E%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D3%7D(2%5Csin%20x%2B%5Ccos%20x)%20dx%3B%20%5C%5C%0A%26(5)%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%5Cpi2%7D%5Csin%5Cvarphi%5Ccos%5E%7B2%7D%5Cvarphi%20d%5Cvarphi%3B%20%5C%5C%0A%26(6)%5Cint_%7B0%7D%5E%7B4%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Csqrt%7Bx%7D%7Ddx%3B%20%5C%5C%0A%26(7)%5Cint_%7B0%7D%5E%7Be%5E%7B-1%7D%7D%5Cln(x%2B1)dx%3B%20%5C%5C%0A%26(8)%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7Dxe%5E%7Bx%7Ddx.%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

3、求下列各曲线围成的图形的面积：

(1) 曲线 y＝x³，y＝x²，直线 x＝1，x＝2；

(2) 曲线 y＝sinx，y＝cosx，直线 x＝－π/4，x＝π/4；

(3) 曲线 y＝1/x，直线 y＝x，x＝2，y＝0；

(4) 曲线 y＝x²，直线 y＝x，y＝2x；

(5) 曲线 y＝x²－4x＋5，直线 x＝3，x＝5，y＝0；

(6) 曲线 y＝3－2x－x²，y＝0 。

4、求下列曲线所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积：

(1) y＝x³，x＝2，y＝0；

(2) y＝cosx，x＝－π/4，x＝π/4，y＝0；

(3) xy＝4，x＝1，x＝4，y＝0；

(4) x²－y²＝a²，x＝a＋h，（a＞0，h＞0）；

(5) y＝1＋√x，y＝3，x＝0 。

5*.求曲线 y＝x²/2－2 与 x 轴交点间的曲线孤长。

6*、将立方抛物线 a²y＝x³ 由 x＝0 到 x＝a 的一段弧，绕 x 轴旋转一周，求旋转面的面积。

$%5Cscriptsize%20x%5E%5Cfrac23%2By%5E%5Cfrac23%3Da%5E%5Cfrac23$ 绕 x 轴旋转一周，求所得曲面面积。

B组

8、计算定积分：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26(1)%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2a%7D(x-a)%5E%7B3%7Ddx%3B%5C%5C%0A%26(2)%5Cint_%7B-2%7D%5E%7B0%7Dx%5E%7B3%7D(x-a)%5E%7B3%7Ddx%3B%5C%5C%26(3)%5Cint_%7B-a%7D%5E%7B0%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%2Ba%7D%7Ba%7D%5Cright)%5E%7B2%7Ddx%3B%5C%5C%26(4)%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Csin2x%5Csin4xdx.%5Cend%7Baligned%7D$