【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第三章导数的应用——一、一阶导数的应用  

§3-3函数的极大值与极小值

【01】如果函数 y＝f(x) 在点 x₀ 处连续，并且 x₀ 不是其定义区间的端点。若对 x₀ 附近的所有点 x（x≠x₀），都有 f(x)＜f(x₀)（或 f(x)＞f(x₀)），我们就说函数 f(x) 在点 x₀ 处取极大值（或极小值），也可以说 f(x₀) 是函数 f(x) 的一个极大值（或极小值），记作 y极大＝f(x₀)（或 y极小＝f(x₀)），并把点 x₀ 称为函数 f(x) 的一个极大点（或极小点）。极大值与极小值统称为极值。极大点与极小点统称为极值点。图3·6和图3·7分别显示了可导函数在点 x₀ 处取极大值与极小值的情况。

【02】从图3·6和图3·7可以看出，可导函数 f(x) 的曲线在它的极值点 x₀ 处的切线都平行于 x 轴，即f'(x₀)＝0  。换句话说，可导函数的极值点一定是它的驻点。但是，反过来，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点。如 f(x)＝x³ 的导数是 f'(x)＝3x²，在 x＝0 处有 f'(0)＝0，即点 x＝0 是函数 f(x)＝x³ 的驻点，但并不是它的极值点（图3·8）  。

【03】因此，在求可导函数的极值时，除了 f'(x)＝0 的条件外，还要考虑 f'(x) 在驻点 x₀ 两侧的正负情况：如果 f'(x₀)＝0，并且 x 由小变大经过 x₀ 时，f'(x) 由正变为负（或由负变为正），那么 f(x) 在点 x₀ 必然取得极大值（或极小值）。

【04】综上所述，并根据上节定理（参看图3·6和图3·7），我们得到求可导函数 f(x) 的极值的方法如下：

1、求导数 f'(x)；

2、求 f(x) 在定义域内的驻点；

3、检查 f'(x) 在驻点左右的符号，如果左正右负，那么 f(x) 在这个驻点取极大值；

如果左负右正，那么 f(x) 在这个驻点取极小值；

如果左右同号，那么 f(x) 在这个驻点的函数值不是极值。

例1.求函数 f(x)＝－x³/3－4x＋4 的极值。

【解】

f(x) 是可导函数，令 f'(x)＝x²－4＝(x＋2)(x－2)＝0，解得驻点为 x₁＝－2，x₂＝2  。

当 x 变化时，f'(x)，f(x) 的变化状态如下表：

；

而当 x＝2 时，函数 f(x)有极小值，

  。

函数 f(x)＝x³/3－4x＋4 的图象如图3·9所示。

例2.求函数 f(x)＝x＋2sinx 在区间 [0，2π] 内的极值。

【解】

因 f'(x)＝1＋2cosx，令 1＋2cosx＝0，解得驻点为 x₁＝2π/3，x₂＝4π/3  。

当 x 变化时，f'(x)，f(x) 的变化状态如下表：

因此当 x＝2π/3 时，函数 f(x) 有极大值，且 f(2π/3)＝2π/3＋√3；

而当 x＝4π/3 时，函数 f(x) 有极小值，且 f(4π/3)＝4π/3－√3  。

函数 f(x)＝x＋2sinx 的图象如图3·10所示。

练习

1、填写下表：

2、说明函数 y＝lnx，y＝ax＋b 为什么没有极值。

3、求下列函数的极值，并根据极值情况画出草图：

(1) y＝x²－7x＋6；

(2) y＝3x⁴－4x³；

(3) y＝x/2＋cosx（－2π＜x＜2π）。

4、用求导数的方法证明二次函数 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的极值点为 x₀＝－b/2a，并讨论它的极值。

习题十

1、确定下列函数的增减范围：

(1) y＝－4x＋2；

(2) y＝(x－1)²；

(3) y＝x²－2x＋5；

(4) y＝3x－x³；

(5) y＝x²(x－3)；

(6) y＝x³－x²－x  。

2、证明下列函数的单调性：

(1) p 为何值时，函数 f(x)＝cosx－px＋q 在整个数轴上是减函数？

(2) 证明 y＝2x＋sinx 在整个数抽上是增函数；

(3) 证明 y＝x＋[1/(x²＋1)] 在整个数轴上是增函数；

(4) 研究函数 y＝1／(x²＋x＋1) 的单调性。

3、证明 y＝√(2x－x²) 在区间 (0，1) 内为增函数，在区间 (1，2) 内为减函数。

4、求下列二次函数的极值：

(1) y＝x²－3x＋10；

(2) y＝－2x²＋4x－7；

(3) y＝6x²－x－2；

(4) y＝－x²－2x＋3；

(5) y＝2－x－x²；

(6) y＝x²/2－3x  。

5、求下列函数的极值：

(1) y＝6＋12x－x³；'.

(2) y＝2x²－x⁴；

(3) y＝2x³－9x²－24x－12；

(4) y＝x³/3－x²/2－2x＋2；

(5) y＝15＋9x－3x²－x³；

(6) y＝4x³－3x²－6x＋2；

(7) y＝2x－sinx；

(8) y＝2eˣ＋e⁻ˣ  。