三角函数泰勒展开中“真零点”的占比

作者：bigpeople发布时间：2024-10-27

引言

在前文《Szegő曲线：三角函数的零点都是实数吗？(二)》中,我曾提到sinn(x)的“真零点“在总零点数的占比为2/(πe)≈23%，在原文献中,作者用上下夹逼的方法得到这一结果。由于该结论相当优雅，因以我致力于找出一种直观解释，在本文中，我将通过Szegö曲线的联系使(πe)的出现更为直观。首先贴出图像快速进入主题，其中符号的定义将在下一章进行。

定义

首先，我们应对于题目中的各概念进行定义。

定义1.各函数及其展开式的记号

定义2. f(z)的归一化幂级数展开

对f(x)的幂级数展开进行归一化（Normalization），

$f_n%5Cleft(mz%5Cright)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7Bf%5E%7B%5Cleft(k%5Cright)%7D%5Cleft(0%5Cright)%7D%7Bk!%7D%5Cleft(mz%5Cright)%5Ek%7D$

$%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bn!f%5Cleft(mx%5Cright)%7D%7Bf%5E%7B%5Cleft(m%2B1%5Cright)%7D%5Cleft(0%5Cright)%7D%5Cright)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D$ 化为m，n无关的形式。

定义3. $f%5Cleft(z%5Cright)-a%E7%9A%84%E5%B9%82%E7%BA%A7%E6%95%B0%E9%9B%B6%E7%82%B9%E6%9B%B2%E7%BA%BF%C3%96(f(z)-a)$

$%E5%BD%93n%E2%86%92%2B%E2%88%9E%E6%97%B6%EF%BC%8Cf_n%5Cleft(mz%5Cright)-a%E7%9A%84%E9%9B%B6%E7%82%B9%E5%9C%A8%E5%A4%8D%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E6%94%B6%E6%95%9B%E5%88%B0%E4%B8%80%E6%9D%A1%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E3%80%82%E7%A7%B0%E8%BF%99%E6%9D%A1%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E4%B8%BAf(z)-a%E7%9A%84%E5%B9%82%E7%BA%A7%E6%95%B0%E9%9B%B6%E7%82%B9%E6%9B%B2%E7%BA%BF%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E4%BD%9C%C3%96(f(z)-a)$

*注1：可从发现，f(x)=Expx且a=0时，幂级数零点曲线回到Szego曲线最原始的定义，反过来，幂级数零点曲线可以认为是Szego曲线的扩展

*注2：在前文中，作者将Normalization译作正规化，造成了理解上的困难，此后定为归一化。

定义4. $f%5Cleft(z%5Cright)-a%E7%9A%84%E9%9B%B6%E7%82%B9%E6%9B%B2%E7%BA%BF%C3%94(f(z)-a)$

$%E5%BD%93n%E2%86%92%2B%E2%88%9E%E6%97%B6%EF%BC%8Cf%5Cleft(mz%5Cright)-a%E7%9A%84%E9%9B%B6%E7%82%B9%E5%9C%A8%E5%A4%8D%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E6%94%B6%E6%95%9B%E5%88%B0%E4%B8%80%E6%9D%A1%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E3%80%82%E7%A7%B0%E8%BF%99%E6%9D%A1%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E4%B8%BAf(z)-a%E7%9A%84%E9%9B%B6%E7%82%B9%E6%9B%B2%E7%BA%BF%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E4%BD%9C%C3%94(f(z)-a)%0A$

定义5. $f_n%5Cleft(z%5Cright)%E7%9A%84%E7%9C%9F%E9%9B%B6%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%E8%AE%A1%E4%B8%BAN(f_n%5Cleft(z%5Cright))%2C%E7%A7%B0%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7BN%5Cleft(f_n%5Cleft(z%5Cright)%5Cright)%7D%7Bn%7D%7D%E4%B8%BAf_n%5Cleft(z%5Cright)%E7%9A%84%E7%9C%9F%E9%9B%B6%E7%82%B9%E6%AF%94%E3%80%82$

设z0是f(z)的零点，z1是fn(z)的零点，r为一小正数。当圆盘|z-z1|<r中存在z0时，称z1是fn(z)的真零点。

由Hurwitz's theorem：“设{fk}是连通开集G上的一系列全纯函数，其在G的任一紧子集上都一致收敛到全纯函数f，且f在G上不恒为零。若f在z0处有m阶零点，则对在一足够小的r>0以及足够大的k∈N（k取决于r)，fk在|z-z1|<r内恰有m（计重数）个零点，且这些零点随k→+∞时收敛到z0“

我们认识到有一些fk的零点将收敛为f的零点，然而由于多项式中零点是“全同的”，我们很难说最终收敛的是哪几个零点。因此出可计算的需求，我们作出上述定义，然而在实际计算时可能使用便于计算的其他计数方式。

定义6.真零点比 $f_n%5Cleft(z%5Cright)%E7%9A%84%E7%9C%9F%E9%9B%B6%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%E8%AE%A1%E4%B8%BAN(f_n%5Cleft(z%5Cright))%2C%E7%A7%B0%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7BN%5Cleft(f_n%5Cleft(z%5Cright)%5Cright)%7D%7Bn%7D%7D%E4%B8%BAf_n%5Cleft(z%5Cright)%E7%9A%84%E7%9C%9F%E9%9B%B6%E7%82%B9%E6%AF%94%E3%80%82$

一、 真零点比的推导

1.1expnz-1=0的真零点比

$%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7BN%5Cleft(%7Bsin%7D_n%5Cleft(z%5Cright)%5Cright)%7D%7Bn%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%20e%7D$ ，根据引言中图可推测 $%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7BN%5Cleft(%7Bexp%7D_n%5Cleft(z%5Cright)-1%5Cright)%7D%7Bn%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%20e%7D$

$z%3Dln%5Cleft%7C1%5Cright%7C%2B2k%5Cpi%2Ck%5Cin%20Z$

$%C3%94(Expz-1)%3D%5Cleft%5C%7B%20%7Bz%E2%88%A3Rez%3D0%7D%5Cright%5C%7D%20$

$%C3%96(Expz-1)%3D%5Cleft%5C%7B%7Bz%7CRez%3D0%2C%7CImz%7C%3Ce%5E%7B-1%7D%7D%5Cright%5C%7D%E2%88%AA%5Cleft%5C%7B%20%7Bz%7CRez%3C0%2C%7Cze%5E1%7C%3D1%7D%5Cright%5C%7D%20%E2%88%AA%5Cleft%5C%7B%7Bz%7CRez%3E0%2C%7Cze%5E%7B1-z%7D%7C%3D1%7D%20%5Cright%5C%7D$

由于函数在虚轴表现为三角函数，具有波动性，幂级数展开后可能会多一至两个零点。然而只要增加的零点是有限个，就完全不影响极限的收敛性。

1.2 expnz-a=0的真零点比

当a为一有限实数时，本命题可以很大程度借用上一节的过程。如：

对于这两节的内容进行总结，由于幂级数零点曲线的归一化操作会使有限大的零点，被拉向0+0i，以致于在n趋于无穷时将呈现为一条直线的形式，这种特性极大地方便了计算。基于该特性，我们可以发展出密度法估计零点比：

$%7Blim%7D_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7BN%5Cleft(f_n%5Cleft(z%5Cright)%5Cright)%7D%7Bn%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D(ml)%5Crho%3D%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7Dl%5Crho$

$%E5%85%B6%E4%B8%ADml%20%E4%B8%BA%E5%BD%92%E4%B8%80%E5%8C%96%E7%B3%BB%E6%95%B0%E4%B8%BAm%E6%97%B6%C3%94(f(z))%E2%88%A9%C3%96(f(z))%E7%9A%84%E5%8C%BA%E9%97%B4%E9%95%BF%E5%BA%A6%EF%BC%8C%5Crho%E4%B8%BA%E5%87%BD%E6%95%B0f%E7%9A%84%E9%9B%B6%E7%82%B9%E5%AF%86%E5%BA%A6$

$%E4%BB%A5%E8%BF%99%E4%B8%A4%E8%8A%82%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%BA%E4%BE%8B%EF%BC%8Cml%E4%B8%BA%E7%9B%B4%E7%BA%BFzRez%3D0%2CImz%3C1e%E7%9A%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%EF%BC%8C%E5%8D%B32e%3B%0A$

$%5Crho%E4%B8%BAln%5Cleft%7Ca%5Cright%7C%2B2k%5Cpi%20i%E5%9C%A8Rez%3D0%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%AF%86%E5%BA%A6k%2F2k%CF%80$

m为n

$%E5%9B%A0%E6%AD%A4%E6%9C%89lim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7BN%5Cleft(%7Bexp%7D_%7Bn%7D%5Cleft(z%5Cright)-1%5Cright)%7D%7Bn%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn%7D%5Cfrac%7B2%7D%7Be%7D%5Cfrac%7Bk%7D%7B2k%5Cpi%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%20e%7D$

1.3 sinnz-a=0的真零点比

$z_1%5Cin%5Cleft%5C%7B%20arctan%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csqrt%7B1-a%5E2%7D%7D%2B2k_1%5Cpi%20%5Cright%5C%7D%20%2Cz_2%5Cin%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cpi-arctan%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csqrt%7B1-a%5E2%7D%7D%2B2k_2%5Cpi%7D%5Cright%5C%7D%20$

$%E8%A6%81%E4%BD%BF%E8%BF%99%E4%B8%A4%E5%88%97%E9%9B%B6%E7%82%B9%E4%B8%8D%E9%87%8D%E5%90%88%EF%BC%8C%E5%B0%B1%E8%A6%81%E4%BD%BFarctan%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csqrt%7B1-a%5E2%7D%7D%5Cneq%5Cpi-arctan%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csqrt%7B1-a%5E2%7D%7D%EF%BC%8C%E5%8D%B3a%E2%89%A01.$

$%E5%8F%AF%E5%8C%96%E7%AE%80%E5%BE%97%E5%88%B0%5Cfrac%7BN%5Cleft(%7Bsin%7D_n%5Cleft(z%5Cright)-a%5Cright)%7D%7Bn%7D%5Capprox%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D(2%5Cleft%5Clfloor%5Cfrac%7Bn%7D%7B%5Cpi%20e%7D%5Cright%5Crfloor%2B1)%EF%BC%8C$ 并且若在统计中由于浮点数的舍入出现了k个统计误差，易知当k有限时不影响真零点比的收敛性。最终有

$%7Blim%7D_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7BN%5Cleft(%7Bsin%7D_n%5Cleft(z%5Cright)-a%5Cright)%7D%7Bn%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%20e%7D$