引言
在前文《Szegő曲线:三角函数的零点都是实数吗?(二)》中,我曾提到sinn(x)的“真零点“在总零点数的占比为2/(πe)≈23%,在原文献中,作者用上下夹逼的方法得到这一结果。由于该结论相当优雅,因以我致力于找出一种直观解释,在本文中,我将通过Szegö曲线的联系使(πe)的出现更为直观。首先贴出图像快速进入主题,其中符号的定义将在下一章进行。
定义
首先,我们应对于题目中的各概念进行定义。
定义1.各函数及其展开式的记号
定义2. f(z)的归一化幂级数展开
对f(x)的幂级数展开进行归一化(Normalization),
化为m,n无关的形式。
定义3.
*注1:可从发现,f(x)=Expx且a=0时,幂级数零点曲线回到Szego曲线最原始的定义,反过来,幂级数零点曲线可以认为是Szego曲线的扩展
*注2:在前文中,作者将Normalization译作正规化,造成了理解上的困难,此后定为归一化。
定义4.
定义5.
设z0是f(z)的零点,z1是fn(z)的零点,r为一小正数。当圆盘|z-z1|<r中存在z0时,称z1是fn(z)的真零点。
由Hurwitz's theorem:“设{fk}是连通开集G上的一系列全纯函数,其在G的任一紧子集上都一致收敛到全纯函数f,且f在G上不恒为零。若f在z0处有m阶零点,则对在一足够小的r>0以及足够大的k∈N(k取决于r),fk在|z-z1|<r内恰有m(计重数)个零点,且这些零点随k→+∞时收敛到z0“
我们认识到有一些fk的零点将收敛为f的零点,然而由于多项式中零点是“全同的”,我们很难说最终收敛的是哪几个零点。因此出可计算的需求,我们作出上述定义,然而在实际计算时可能使用便于计算的其他计数方式。
定义6.真零点比
一、 真零点比的推导
1.1expnz-1=0的真零点比
,根据引言中图可推测
由于函数在虚轴表现为三角函数,具有波动性,幂级数展开后可能会多一至两个零点。然而只要增加的零点是有限个,就完全不影响极限的收敛性。
1.2 expnz-a=0的真零点比
当a为一有限实数时,本命题可以很大程度借用上一节的过程。如:
对于这两节的内容进行总结,由于幂级数零点曲线的归一化操作会使有限大的零点,被拉向0+0i,以致于在n趋于无穷时将呈现为一条直线的形式,这种特性极大地方便了计算。基于该特性,我们可以发展出密度法估计零点比:
m为n
1.3 sinnz-a=0的真零点比
并且若在统计中由于浮点数的舍入出现了k个统计误差,易知当k有限时不影响真零点比的收敛性。最终有
画出a=0时的图像可以验证结论。
1.4 cosnz-a=0的真零点比
Cosz具有和Sinz相似的结论,在此不作证明地给出重要结论以供参考,供读者练习。
结语
在最终的结果中,三角函数真零点比出现的自然常数e无疑揭示了三角函数与自然指数存在的深刻关系。这种数值关系只是通过数零点的个数就能得到,而不需要引入复域,这可能正是数学优雅的一面吧!