【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第六章参数方程 

§6-4直线和圆锥曲线的参数方程

【01】今把直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线的几种常见的参数方程分述于下：

1、直线的参数方程

【02】如图6·8设点 P₁(x₁，y₁) 是直线上的一个定点，又点 P(x，y) 是这条直线上的任意一点，则 P₁P 的长（设为 ρ）为一个变数。不同的 ρ 值，相应于 P 点不同的位置，也就得到不同的 x，y 数值。【如在此直线上有另外一点 P'，令 P₁P'＝ρ'，假定 P₁P' 同在 P₁ 的一边时，则 ρ₁ρ' 同号，它们在 P₁ 的相反两边时，则 ρ₁ρ' 异号】

【03】今 P₁Q＝M₁M＝x－x₁，QP＝MP－MQ＝y－y₁  。

【04】设这直线的倾角为定值 α，则 ∠PP₁Q＝α  。

【05】在直角三角形 P₁QP 中，

【06】即    (1)

【07】即

【08】它是过一定点有一定方向的直线的参数方程，ρ 是参数。从图上可以看到，| ρ | 就是 P 和 P₁ 两点间的距离。如 P 点在 P₁ 的向上方向时，则 ρ＞0，如 P 点在 P₁ 的向下方向时，ρ＜0  。

【注】从(1)的第一式除第二式，消去参数 ρ 就得 (y－y₁)／(x－x₁)＝tgα＝k（k 是直线的斜率），即 y－y₁＝k(x－x₁)  。这就是直线的点斜式方程。

2、圆的参数方程

【09】设一圆的中心是 C(x₁，y₁)，半径是 r，又设 P(x，y) 是圆上任意一点（如图6·9）。∠QCP＝θ，

【10】则

CQ＝CP cosθ＝r cosθ，

QP＝CP sinθ＝r sinθ  。

【11】今 CQ＝DM＝x－x₁，

【12】∴ x－x₁＝r cosθ  。

【13】又 QP＝MP－MQ＝y－y₁，

【14】∴ y－y₁＝r sinθ  。

【15】由此可得

    (1)

【16】这就是已知圆心及半径的圆的参数方程，θ 为参数。从(1)消去 θ，即得圆的标准方程：(x－x₁)²＋(y－y₁)²＝r²  。    (2)

3、椭圆、双曲线、抛物线等的一般参数方程（Φ是参数）：

(1) 

【17】椭圆 x²/a²＋y²/b²＝1 的参数方程是

【18】圆 x²＋y²＝a² 的参数方程是

(2)

【19】双曲线 x²/a²－y²/b²＝1 的参数方程是

【20】等边双曲线 xy＝k² 的参数方程是

(3)

【21】抛物线 y＝2px 的参数方程是

【22】关于有些曲线的性质问题，应用参数方程，往往容易得到解决，今举两例于下：

例1.圆外一点到圆的割线，与圆外部分两者长度的积，与这点向这圆所引的切线长的平方相等，试证之。

【证】

设圆是（图6·10）x²＋y²＝a²，    (1)

圆外一点是 P₁(x₁，y₁)，过 P₁ 的任意一直线是

    (2)

上式 α 是定数，ρ 是参数。

今以(2)式的 x，y 值代入(1)式，并照 ρ 的方次整理得

ρ²＋2(x₁ cosα＋y₁ sinα)ρ＋(x₁²＋y₁²－a²)＝0  。

上式 ρ 的两根 ρ₁，ρ₂（今 ρ₁，ρ₂ 是同号）代表 P₁ 到圆周的两个线段的长（今为 P₁S 及 P₁S'）。

从二次方程根与系数关系得 | P₁S |·| P₁S' |＝x₁²y₁²－a²  。    (3)

但 P₁ 向圆所作切线长的平方是 | P₁T |²＝x₁²＋y₁²－a²，

所以 | P₁S |·| P₁S' |＝| P₁T |²，

问题就得到证明了。

例2.求椭圆中面积最大的内接矩形。

【解】

设椭圆的方程是 x²/a²＋y²/b²＝1，    (1)

    (2)

它的半长轴及半短轴的长是 a 及 b  。内接矩形各边必然分别平行于两对称轴，当然这矩形也就对称于椭圆的对称轴。如图6·11，PQRS 是椭圆的一个内接矩形，并且这内接矩形 PQRS 的面积等于矩形 PNOM 的面积的 4 倍，即 PQRS 的面积＝4(OM·MP)  。

因为 P 是内接矩形的一个顶点，它在椭圆周上，从(2)式设它的坐标是 (a cosΦ，b sinΦ)，也就是说 OM＝a cosΦ，MP＝b sinΦ，所以内接矩形PQRS的面积＝4ab sinΦ cosΦ＝2ab sin2Φ  。因为 a，b 都是已知正数，假使它的面积极大，必须 sin2Φ 为极大，但 | sin2Φ |≤1，即 sin2Φ 的极大值是 1，此时 2Φ＝90°，∴ Φ＝45°  。故当 P 点的离心角【见第241页脚注〖山注|| 参见几5-4-8第09段〗】为 45° 时，所得的矩形的面积为最大。图上的矩形 ABCD 是内接最大矩形，它的面积是 2ab  。

练习

在下列各曲线方程中，假定 x 为参数的一个函数，求它们的参数方程：

1、x²/a²＋y²/b²＝1 中，设 x＝a cosΦ；

2、x²/a²－y²/b²＝1 中，设 x＝a cscΦ；

3、y²＝2px 中，设 x＝2pt²；

4、xy＝k² 中，设 y＝k tgΦ；

5、4x²－y²＝4 中，设 x＝ty－1  。

习题6-1~6-4

1、描绘下列各个参数方程的图象，并且消去它们的参数求普通方程：

(1) x＝2－t，y＝2＋t；

(2) x＝t³，y＝t²；

(3) x＝3 cscθ，y ctgθ＝2；

(4) x＝10t cos45°，y＝10t sin45°－490t²  。

2、

(1) 写出经过 P₁(－2，3)，又倾角为 (3/4)π 的直线参数方程；

(2) 根据上面参数方程，求出 P₁ 到这直线与另一直线 3x－y－2＝0 的交点间的距离；[提示：把(1)题求出的参数方程代入另一直线方程求 ρ 的值 ]

(3) 第(1)题的直线交圆 x²＋y²＝25 于两点 A，B，求 P₁A，P₁B 两个长度的积；[提示：把(1)题求出的参数方程，以 x，y 的值代入圆的方程，得到含 ρ 的方程。它的两根 ρ₁，ρ₂ 就表示 P₁A，P₁B 的长，再根据方程里根与系数的关系即可求得 ]

(4) 过圆 x²＋y²＝25 内一点 P₁ 作这圆的弦。证明这弦被 P₁ 所分成的两段长度 ρ₁ 和 ρ₂ 的积为定数。

3、在第四章4-8节椭圆的几何作图法2里，证明 P 的轨迹是 x²/a²＋y²/b²＝1  。[提示：先证明 x＝a cosθ，y＝b sinθ，再消去 θ（θ 是离心角）]

4、描 y(x²＋4a²)＝8a³ 的图象。[提示：先令 x＝2ctgθ，求它的参数方程再描图 ]

的图象。[提示：先令 x＝a cos⁴θ，化为参数方程，再行描图 ]

6、描 y²＝x³／(2a－x) 的图。[提示：先令 y＝tx，求得它的参数方程，再描图 ]

【

】