【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第三章导数的应用——一、一阶导数的应用   

§3-4函数的最大值与最小值

【01】在生产中，常常会遇到要求在一定条件下使“强度最大”，“用料最省”，“功率最大”这样一类问题，在数学上，这类问题往往归结为求函数的最大值或最小值。

【02】本节讨论函数的最大值与最小值，是导数应用的又一个方面。在3-3节已知可导函数的极大值与极小值，就是函数在点 x₀ 附近的最大值与最小值。如图3·11所示。但是，就区间 [a，b] 上的给定函数 f(x) 来说，函数的极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值。

【03】如果函数 f(x) 在闭区间 [a，b] 上连续，在开区间 (a，b) 内可导，从连续函数性质1得知，函数 f(x) 在 [a，b] 上有最大值与最小值。如图3·11中，最大值是区间端点 a 的值 f(a)，最小值是几个极小值中最小的一个 f(x₃)  。这就是说求函数 f(x) 的最大值，只要求得所有 f(x) 的极大值与 f(a)、f(b) 这些值中最大者就行了，而求函数 f(x) 的最小值，也只考虑 f(x) 的所有极小值与 f(a)、f(b) 中的最小者。

【04】因此，求闭区间 [a，b] 上的可导函数 f(x) 在 [a，b] 上的最大值与最小值，可以分两步来进行：

1、求 f(x) 在 (a，b) 内的驻点；

2、计算 f(x) 在驻点和端点的函数值，并把这些值加以比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

【05】因为二次函数在其定义域内只有一个极值点，所以在包含极值点的闭区间上，二次函数的极大值就是最大值，极小值就是最小值，如图3·12所示。

例1.求函数 y＝x⁴－2x²＋5 在区间 [－2，2] 上的最大值与最小值。

【解】

y'＝4x³－4x  。

令 4x³－4x＝0，求得驻点为 x₁＝－1，x₂＝0，x₃＝1  。

这些驻点的函数值为 y|x=0＝5，9|x=±1＝4  。

区间端点的函数值为 y|x=±2＝13  。

将这些求出的函数值加以比较，知道最大值为 13，最小值为 4（图3·13）。

例2.用边长为 60 厘米的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转九十度，再焊接而成（图3·14）。问水箱底边的长应取多少，才能使水箱容积最大。最大容积是多少？

【解】

设水箱底边长为 x（厘米），则水箱高 h＝(60－x)／2，

水箱容积 V＝V(x)＝x²h＝(60x²－x³)／2（0＜x＜60）。

由问题的实际情况来看，如果 x 过小，水箱的底面积就很小，容积 V 也就很小；如果 x 过大，水箱的高就很小，容积 V 也就很小。因此，其中必有一适当的 x 值，使容积 V 取得最大值。

令 V'(x)＝60x－3x²/2＝0，

得两个根 x＝0（不合题意，舍去），x＝40，

从而在定义域 (0，60) 内，函数 V(x) 只有一个驻点 x＝40（厘米）。

代人函数式 V(x)，即得 V最大＝(40)²·(60－40)/2＝16000（立方厘米）。

答：水箱底边长取 40 厘米时，容积最大。最大容积为 16000 立方厘米。

要注意，如果由问题的实际情况，可以断定可导函数在定义域开区间内存在最大（小）值，而且 f(x) 在这个定义域开区间内又只有一个驻点，那么立即可以断定这个驻点的函数值就是最大（小）值。这一点在解决某些实际问题时很有用。

例3.矩形横梁的强度同它断面的高的平方与宽的积成正比。要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应是多少？

【解】

如图3·15所示，设断面宽为 x，高为 h，则 h²＝d²－x²  。

横梁强度函数 f(x)＝kxh²，（k 为比例系数，k＞0）。

∴ f(x)＝kx(d²－x²)（0＜x＜d）。

从实际情况可知，横梁强度函数 f(x) 在 (0，d) 内一定有最大值。

令 f'(x)＝k(d²－3x²)＝0，

即 d²－3x²＝0，此方程有两个根 x＝±(√3 /3)d，其中负根没有意义，舍去，从而在定义域 (0，d) 内，函数 f(x) 只有一个驻点 x＝(√3 /3)d  。

f(x) 在这一点的函数值，就是横梁强度的最大值。

此时 h＝√(d²－x²)＝(√6 /3)d  。

答：当宽为 (√3 /3)d，高为 (√6 /3)d 时，横梁强度最大。

例4.某生产队要造一个可容纳 150 担氨水（比重为0.925吨/立方米）的有盖有底圆柱形氨水槽（图3·16），问氨水槽的底半径与圆柱高应取多少，才能使所用的材料最省？〖山注|| 1担＝100市斤＝50公斤〗

【解】

材料最省，就是使圆柱表面积最小。

设槽底半径为 R，高为 h，则氨水槽的表面积 S＝2πRh＋2πR²  。

由氨水槽的容积 V＝πR²h，知 h＝V／πR²，代入上式得

  。

从实际情况可知，表面积 S 在其定义域内一定有最小值。

令 S'(R)＝－2V/R²＋4πR＝0，

，因此我们得到唯一驻点   。

 时，

，

这就是说，当 h＝2R 时，函数 S(R) 取得最小值，这时所用的材料最省。

现在我们根据 1担＝100斤＝0.05吨，

得 V＝150×0.05/0.925≈8.11（立方米），

，

h＝2R ≈ 2.18（米）

这时建造氨水槽所用的材料最省。

答：当氨水槽的底半径约为 1.09米，高约为 218米 时，所用的材料最省。

例5.已知电源电压为 E，内电阻为 r（图3·17），问当外电路负载电阻 R 取什么值时，输出功率最大。

【解】

由欧姆定律得电流强度 Ⅰ＝E／(R＋r)  。

在负载电阻R上输出的功率

  。

实验证明，当 E，r 一定时，输出功率由负载电阻 R 的大小决定。R 很小时，电源功率大都消耗在内电阻 r 上，输出功率可以变得很小；R 很大时，电路中电流很小，输出功率也可以变得很小。因此，R 一定有一个适当的数值，使得输出功率最大。令

，

即 E²(r－R)＝0，求得唯一驻点 R＝r  。

所以，当 R＝r，即外电路负载电阻等于内电阻时，输出功率最大。

答：当外电路负载电阻 R 等于内电阻 r 时，输出功率最大。

练习

1、已知函数 y＝3x³－9x＋5，求函数在 [－2，2] 上的最大值与最小值。

2、把长度为 l 的线段分成两段，使得以这两段分别作为长与宽所得的矩形的面积最大。

3、把长为 l 的铁丝分成两段，各围成一个正方形，问怎样分法才能使它们的面积之和最小。

4、等腰三角形的周长为 2p，问绕这个三角形的底边旋转一周所成立体的体积为最大时，各边长分别是多少。

习题十一

1、证明函数 y＝2x³＋3x²－12x＋1 在区间 (－2，1) 内是减函数。

2、确定下列函数的增减范围：

(1) y＝(5－x)(1＋x)；

(2) y＝x³－12x＋2；

(3) y＝x³－9x²＋24x；

(4) y＝x⁴－2x²－5；

(5) y＝x lgx；

(6) y＝xeˣ  。

3、求下列函数的驻点：

(1) y＝x³－2x²－9x＋31；

(2) y＝6x²－x⁴；

(3) y＝2／(1＋x²)；

(4) y＝sinx－√3 cosx（0＜x＜2）。

4、讨论下列函数的增减性：

(1) f(x)＝7x²＋14x＋1；

(2) f(x)＝1/3x；

(3) f(x)＝2x³－6x²－18x－7；

(4) f(x)＝x⁴－2x²－5；

(5) y＝x－eˣ；

(6) y＝x＋cosx；

(7) y＝x－sinx；

(8) 函数 y＝arctgx－x 是整个定义域内的减函数。

5、证明下列不等式成立：

6、已知函数 y＝a(x³－x)（a≠0），

(1) 如果 x＞√3 ／3 时，y 是减函数，确定 a 的值的范国；

(2) 如果 x＜－√3 ／3 时，y 是减函数，确定 a 的值的范围；

(3) 如果－√3 ／3＜x＜√3 ／3 时，y 是减函数，确定 a 的值的范围。

7、求下列函数的极值：

(1) y＝x³＋12x²＋36x－50；

(2) y＝4x⁵－5x⁴－40x³；

(3) y＝3x⁵－5x³＋2；

(4) y＝x²／(x²＋3)；

(5) y＝x³－2x＋8/x；

(6) y＝(x²－3)eˣ  。

8、求下列函数的极值：

9、求下列函数在给定区间内的极值：

(1) y＝cos(x＋π/4)，x 在 (0，x) 内；

(2) y＝cosx＋sinx，x 在 (－π/2，π/2) 内；

(3) y＝x／(1＋x²)，x 在 (－3/2，1/2) 内；

(4) y＝x－sin2x，x 在 (0，π) 内；

(5) y＝2tgx－tg²x，x 在 (0，2π) 内。

10、求下列函数在给定区间的最大值与最小值：

(1) y＝x⁴－2x²＋5，[－2，2]；

(2) y＝x＋2√x，[0，4]；

(3) y＝(1－x＋x²)／(1＋x－x²)，[0，1]；

(4) y＝2tgx－tg²x，[0，π/3]  。

11、将 36 分成两个因数，使其平方和最小。

12、求外切于半径为 R 的球并且体积最小的圆锥的高。

13、在抛物线 y²＝2px 的对称轴上，已知一个与顶点距离为 a 的点 M（在 y 轴右侧），求曲线上点 N 的横坐标，使得 | MN | 最小。

14、如图，已知一个正方形内接于另一个固定的正方形，问 α 取什么值时，内接正方形面积最小。（提示：用求导数的方法来解，可设小正方形边长为 x）

15、求下列函数在给定区间的最大值与最小值：

(1) y＝5－36x＋3x²＋4x³，[－2，2]；

(2) y＝4x²(x²－2)，[－2，2]  。

16、将 8 分为两部分，使其立方和最小。

17、有根木料长为 6 米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高之比为 1:2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可以忽略不计）。

18、有根铁丝长 72cm，截成十二段，搭成一个正四棱柱的模型，要求占空间位置最大，问线段应该怎样截法。（提示：占空间位置是指铁丝所围成的正四棱柱的体积）

19、如图，用半径为 R 的圆铁皮，剪一个圆心角为 α 的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，问圆心角 α 取什么值时，漏斗容积最大。

20、

(1) 求内接于半径为 R 的球并且体积最大的圆柱体的高；

(2) 求内接于半径为 R 的球并且体积最大的圆锥体的高。

21、如图，已知海岛 A 到海岸公路 BD 的距离 AD 为 50 公里，D 与工厂 B 的距离为 200 公里，海上机船的速度为 25公里/小时，岸上卡车的速度为 50公里/小时。问在海岸公路 BD 上哪一处设立转运站 C，可以使从岛 A 到工厂 B 的运货时间最短（装货及卸货所用时间除外）。B，D 的距离对 C 点的位置有没有影响？

22、如图，铁路线上 AB 段长 100公里，工厂 C 到铁路的距离 CA 为 20公里。现在要在 AB 上某一点 D 处，向 C 修一条公路。已知铁路每吨公里与公路每吨公里的运费之比为 3:5，为了使原料从供应站 B 运到工厂 C 的运费最省，D 点应选在何处？

23、

(1) 如图，已知防空洞的截面是矩形加半圆，周长为 l，底宽 2x 取什么值时，截面面积最大？

(2) 如果上述防空洞载面积为 S，底宽 2x 取什么值时，周长最小？

24、如图，在施工地点中心设立一灯架，上面挂一盏“太阳”灯，问灯离地面多高，可以使与工地中心距离为 a 的圆形施工区域边上具有最大照度。（提示：照度 J 与 cosφ 成正比，与光源距离 r 的平方成反比）

25、如图，在等腰梯形 ABCD 中，底 CD＝40，腰 AD＝40，问 AB 为多长时，等腰梯形的面积最大。（提示：可设 ∠A＝θ）