【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。  

第五章定积分及其应用——二、定积分的应用  

§5-6旋转体的侧面积

【01】设旋转体是由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，x＝b 以及 x 轴所围曲边梯形 AabB 绕 x 轴旋转一周而成的（图5·21(1)）。

【02】用 n－1 个垂直于 x 轴的平面把区间 [a，b] 等分成 n 个小区间 [xi-1，xi]，（i＝1，2，…，n，其中 x₀＝a，xn＝b），旋转体被分成 n 个厚度相同的薄片，取第 i 片，它可以看作是曲线 MN，直线 x＝xi-1，x＝xi 及 x 轴所围小曲边梯形 Mxi-1xiN 绕 x 轴旋转一周而成的小旋转体，它的侧面积用 △Si 表示（图5·21）。

【03】从图5·21(2)可以看出，当 n 充分大，即 △x 充分小时，弧 MN 可近似地用弦 MN 代替。因此，由弧 MN 绕 x 轴旋转而成的第 i 个小薄片的侧面积 △Si，就可近似地用由弦 MN 绕 x 轴旋转而成的小圆台的侧面积来代替。这第 i 个小圆台上、下底面的半径分别为 f(xi-1) 与 f(xi)，母线 MN＝√(MQ²＋QN²)，由图5·21(2)可知其中的 MQ＝△x，QN＝f(xi)－f(xi-1)，根据圆台的侧面积公式，可得

【04】所以，整个旋转体的侧面积

  。

【05】当 n→∞ 时，上式右端的极限，就是侧面积 S，即

  。

【06】可以证明（本书从略）这个极限就是

  。

【07】于是旋转体的侧面积公式为

例1.圆 x²＋y²＝r² 绕 x 轴旋转形成球面，求由 x＝x₁ 到 x＝x₂ 的球带面积。

【解】

如图5·22  。

球带的表面积 S 等于曲线 y＝√(r²－x²)  （x₁≤x≤x₂），

绕 x 轴旋转所成的曲面面积，由旋转体侧面积公式，

，

其中

于是

如果把球带的高 x₂－x₁ 记为 h，那么得出球带的面积 S＝2π r h  。

特别当 x₁＝－r，x₂＝r 时，h＝x₂－x₁＝2r，上面公式便成了球面积公式：S＝4 π r²  。

例2.求在 x＝0 与 x＝3a 之间的抛物线 y²＝4ax 绕 x 轴旋转而成的曲面面积。

【解】

如图5·23，由旋转体侧面积公式，

，

其中

于是

练习

求曲线 y²＝x，直线 x＝0，x＝6 所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的侧面积。

习题十六

1、求下列曲线所围图形的面积：

(1) 曲线 y＝4－x² 与 x 轴；

(2) 曲线 2y＝x² 与直线 x＝y－4；

(3) 半圆 y＝√(25－x²)，x 轴，直线 x＝－3，x＝4；

(4) 曲线 y＝2x－x²，y＝2x²－4x；

(5) 曲线 y＝x²＋2，y＝2x，x＝0，x＝2；

(6) 曲线 y＝2x²，y＝x²，x＝1；

(7) 曲线 √x＋√y＝1，x＝0，y＝0；

(8) 曲线 y＝sinx，x＝π/4，x＝π，y＝0；

(9) 曲线 y＝1/x，x＝1，x＝e，y＝0  。

2、求下列曲线围成的图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积：

(1) y＝4－x² 与 x 轴；

(2) y＝√(4＋x²)，x＝－2，x＝2，x 轴；

(3) y＝x²，y＝√x；

(4) y＝sinx，y＝cosx，x 轴上的线段 [0，π/2]  。

3*、求曲线 y＝ln(1－x²) 由 x＝0 到 x＝1/2 间的弧长  。

4*、求抛物线 y＝x²／2p 由顶点到点 A(√2  p，p) 之间的孤长。

5*、求曲线 y＝(1/4)x²－(1/2)lnx 在 1≤x≤e 之间的弧长。

6*、求抛物线 y²＝4x，直线 x＝10 所围图形绕 x 轴旋转所得淀转体的侧面积。

7*、求圆 x²＋(y－2)²＝1 绕 x 轴旋转而成的旋转体的表面积。

8*、用旋转体侧面积公式验证高为 H，底面半径为 R 的圆锥侧面积公式为 πR√(R²＋H²)  。