简单的轨道计算1——交会发射轨道参数计算

在KSP中，交会和对接是绕不开的一门课。每一个成熟的KSP玩家应该都可以熟练地完成交会和对接的任务。比如，发射一艘飞船，对接Kerbin低轨上的空间站。这种任务通常都不会很难，尤其是在赤道平面上的空间站。我们只需要向东发射，然后调整轨道交会，再对接即可。

但是，在RSS+RO的环境下，一切都变了。这里，几乎每一次发射都会带有一定的轨道倾角（圭亚那发射场除外）。因此，圆轨道的自由度，从原版的3，到RSS/RO下的5。因此，在RO的难度下，计算就变得非常关键了——我们总不能在发射后，对着消耗上千Δv的法向/反法向机动傻眼吧。

另外，玩过RSS/RO/RP-1的都知道，电力是非常宝贵的东西。NearEarthCore的电力消耗非常快（尤其是在RP-1早期，所以我个人一般都会直接用DeepSpaceCore的休眠大法延长卫星寿命），因此我们都希望以最快的速度完成任务。

既然要求快，我们就要求在第二艘飞船发射后，以最快的速度交会。因此，第一艘飞船的发射参数非常重要。通常来讲，LEO的停泊轨道都可以当作正圆轨道计算。

为了要求时间较短，我们可以抛开地域限制，直接允许朝向任意方向发射。

。求轨道倾角i，轨道高度h，以及中间时间t。

显然，时间可以放在最后求解——几乎所有的轨道参数求解都是这样。而轨道高度h很明显是轨道倾角i的函数。而且，在球面下，这里的i大概率会被一大坨三角函数复合在一起，难以分离。因此，我们的目的就是用轨道倾角i来表示轨道高度h。

对于球面三角形ABC，要求同时满足：

            ①

                                   ②

是我们需要寻找的参数。

而且，这里出现了θ。

的求解方式：

同时，利用正余弦平方和为1，联立①②：

把不是θ的东西全都堆到一边，得到：

 ③

，其中为地球自转角速度。利用运动的等时性，可以发现这两个时间有以下关系：

④

是飞船的公转角速度。k是停泊的圈数。后两个参数可以自行调节，因此作为整体。

和θ同时出现在了同一个等式里，而且和前面的是独立的。接下来要做什么已经很明显了。

的都堆到一边，得到：

。是地球半径，取6371km即可。

来求解时间t，因此保留。

而h就是：

为了方便，这里直接将h的单位化成km

而t就很好求解了：

同样的，时间的单位也被换成了常用单位h

），取517s，k=3，将所有参数代入，并放入函数绘图软件，即可直接读取参数。

得到：在轨道倾角i=51.8°时，轨道高度h=196.53km，停泊时长t=4h28min。

但是，有些时候，我们并不追求这么高频的发射，以至于很少达到只相隔一个小时的水平。

相反，更多的时候，都是需要等待1天以上。

这个时候，地球的扁率摄动就会开始发力。

比如CSS的轨道，其升交线的进动速率是-0.25°/h左右。

对比之下，地球自转的角速度是15°/h

这不是一个小数目，可能会导致发射出现问题。因此，需要仔细考虑轨道进动带来的影响。

对于升交线进动，有这样的关系：

由于这里用的是圆轨道，因此半通径与半长轴相当，都是轨道半径r，而轨道角速度也不会随时间改变（由于时间较短，忽略地球扁率对倾角和离心率的影响）。

因此展开得到：

由于摄动几乎不会改变轨道形状，①②③式都不变。但④式的最右侧会有所变化：

先对t进行分离，然后再次代入，同时把③代入进来：

关注最后一个等号两边：

，那么：

这个方程高达10次，而且无法通过换元降次。不过好在，这是一个缺项的整式方程。

通过给定目标轨道倾角，可以反解u，进而得到r。

不过，这个方程在一些情况下甚至可能出现4个解，但只有一个是满足要求的（剩下的3个解对应的轨道都在地下）

实际上还有一种暴力的方法，就是让i=90°，这样升交线的进动为0，也就不存在这种问题。

但是通常情况下，严格的极地轨道是用不到的。

把上面的计算结果代入这里面：

最新的轨道高度“竟然”只有79.2km，甚至在大气层内。不过换算成轨道半径，差别就不大了。

究其原因，还是因为升交线的进动减少了发射场再次经过轨道平面的时间。

这一点的误差，可能会导致发射任务完全失败（对于某些要求精确计算的任务来说）。

虽然更复杂，但是为了精确地计算，这点复杂度完全值得。

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