【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第二章导数和微分——一、导数概念 

§2-4函数的可导性与连续性的关系

【01】由导数的定义，可以推出函数在一点处可导与函数在该点处连续的关系：

如果函数 y＝f(x) 在点 x₀ 处可导，那么 y＝f(x) 在点 x₀ 处连续。

【证明】

【02】我们是要根据 

【03】来证明   。

【04】考虑 ，令 x＝x₀＋△x，x→x₀ 相当于 △x→0，于是

【05】但是，如果函数 f(x) 在点 x₀ 连续，f(x) 在该点不一定可导。例如 y＝| x | 在点 x＝0 连续，但在点 x＝0 处不可导。从图形上看，就是曲线 y＝f(x) 在点 O(0，0) 处没有切线（图2·3）。

【06】*下面我们根据导数的定义证明 y＝| x | 在 x＝0 处不可导。并从而导出左、右导数的概念。

【07】也就是说，当 △x→0 时，△y／△x 的左，右极限不相等，所以 △y／△x 当 △x→0 时极限不存在。因此，函数 y＝| x | 在点 x＝0 处不可导。

【08】一般地，设已知函数 y＝f(x)，△y＝f(x₀＋△x)一f(x₀)，如果 △y／△x 的左极限存在，就把左极限 叫做 f(x) 在点 x₀ 处的左导数；如果 △y／△x 的右极限存在，就把右极限 叫做 f(x) 在点 x₀ 处的右导数。

【09】根据左、右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可得左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件。

【10】如果函数 y＝f(x) 在开区间 (a，b) 内可导，在左端点 x＝a 处存在右导数，在右端点 x＝b 处存在左导数，我们就说函数 f(x) 在闭区间 [a，b] 上可导。

*练习

先从函数的图象观察，然后根据定义判断函数 y＝³√x² 在点 x＝0 处是否连续，在点 x＝0 处是否可导。

习题四

1、巳知作直线运动的某一物体的运动方程为 s＝5t²/2（米），当 t＝2 秒，△t 分别为 0.1秒、0.01秒、0.001秒、0.0001秒、0.00001秒 时，求从 t₀ 到 t₀＋△t 这段时间内的平均速度及 t＝2 秒时的瞬时速度。

2、已知质点按规律 s＝2t²＋4t (米) 作直线运动，求：

(1) 质点在运动开始后前 3 秒内的平均速度；

(2) 质点在 2 秒到 3 秒内的平均速度；

(3) 质点在 3 秒时的瞬时速度。

3、求下列函数在指定点处的导数：

(1) y＝(x－2)²，点 x＝2；

(2) y＝1／(x－1)，点 x＝0  。

4、说明函数 y＝f(x) 在点 x₀ 处的导数也可定义为

  。

5、求下列函数的导数：

(1) y＝ax＋b；

(2) y＝1/x；

(3) y＝1/x²；

(4) y＝1／√x  。

6、已知 f(x)＝1／(1－x)，求 f'(x)，f'(0)，f'(2)  。

7、已知 y＝√(a²－x²)，求证 y'＝－x／√(a²－x²)  。

8、设质点 M 沿 x 轴作变速直线运动，在时刻 t(秒)，质点 M 所在位置为 x＝t²－5t＋6(米)。求从 1 秒到 3 秒这段时间内质点 M 的平均速度，质点 M 在什么时刻的速度等于这段时间内的平均速度？

9、求曲线 y＝2x－x³ 在点 (－1，－1) 处的切线的倾斜角。

10、求抛物线 y＝x²/4 在点 (－2，1) 及点 (2，1) 处的切线方程和法线方程。

11、从时刻 t＝0 开始的 t 秒内，通过某导体的电量（单位：库仑）可由公式 q＝2t²＋3t 表示。求第 5 秒时的电流强度及第 7 秒时的电流强度（即通过的电量 q 对时间 t 的导数 qt'），什么时刻电流强度达到 43 安培（即库仑/秒）。