【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。  

第五章定积分及其应用——二、定积分的应用  

§5-5平面曲线的弧长

【01】我们已经知道，任一线段的长度，可以直接度量求得，任一已知半径和弧度或角度的圆弧的长度，可以用公式 l＝αR（或 nπR／180）求得。但是，我们还不会求平面上任意一条曲线的弧长。现在，我们采用与求曲边梯形面积类似的方法来求曲线的弧长。

【02】设曲线 AB 的方程为 y＝f(x)（a≤x≤b）。这里函数 f(x) 在区间 [a，b] 上可导，而且 f'(x) 连续。

【03】现在求曲线 AB 的长 l（见图5·18）。

(1) 将 分割为 n 段小弧

【04】用 n－1 个垂直于 x 轴的垂线，把区间 [a，b] 等分成 n 个小区间

[xi-1，xi]（i＝1，2，…，n，其中 x₀＝a，xn＝b）。

【05】每个小区间长度为 △x＝(b－a)／n  。

【06】平面曲线 AB 被分成 n 段弧，连结每段弧的弦，得内接曲线 AB 的折线（如图5·18所示），第 i 个小区间上所对应的第 i 段弧 Ai-1Ai 两个端点坐标为 Ai-1(xi-1，f(xi-1))，Ai (xi，f(xi))  。

【07】根据两点间的距离公式，得折线第 i 段长

，（i＝1，2，…，n）。

(2) 用折线代替曲线

【08】当小区间很小时，第 i 段弧 Ai-1Ai 的长就可以用第 i 段折线 | Ai-1Ai | 的长近似代替，于是曲线 AB 的长 l 的近似值

，    (1)

【09】由拉格朗日中值定理，有

f(xi)一f(xi-1)＝f'(ξi)△x（xξi-1＜ξi＜xi），

【10】其中 △x＝xi－xi-1＝(b－a)／n  。

【11】这时 ，

【12】当 n→∞，即 △x→0 时，折线长 ln 的极限，就是曲线 AB 的长 l，

【13】即   。

【14】根据定积分的定义，便得到平面曲线的弧长公式：

例1.已知圆的方程 x²＋y²＝R²，求第一象限内端点横坐标 x＝0 到 x＝b（b＜R）的弧 AB 的长 I  。

【解】

如图5·19，第一象限圆弧方程为 y＝√(R²－x²)，

于是

根据弧长公式，得弧 AB 的长

例2.已知悬链线方程为 ，求端点横坐标从 x＝0 到 x＝a（a＞0）一段的孤长。

【解】

如图5·20  。

练习

1、求抛物线 y＝x²/2 在端点横坐标 x＝－1 到 x＝1 之间的弧长。

在端点横坐标 x＝0 到 x＝8 之间的孤长。