2.动态面控制基本原理及其应用设计

作者：学海行舟发布时间：2024-10-20

在上一篇博文中，我们介绍了反步法的基本原理及其应用设计。它的提出被认为是非线性控制研究的重大突破。然而反步法存在一种固有缺陷，即在每一步的反步设计中都涉及对之前反步设计的虚拟控制率进行求导。随着系统阶数的增加，这种计算将发生爆炸性膨胀。为了解决这个问题，Swarrop在2000年提出了一种动态面控制在（Dynamic surface control），它通过在每一步的设计中引入一个一阶低通滤波器，从而避免了对虚拟控制率的反复求导。

这里我们以单输入单输出系统为例，对动态面控制的设计步骤进行阐述，我们考虑如下严格反馈形式的系统

$%5Cbegin%7Bequation%7D%5Clabel%7Beq2%7D%0A%09%5Cleft%5C%7B%0A%09%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%09%5Cdot%7Bx%7D_1%26%3Df_1(x_1)%2Bx_2%5C%5C%0A%09%09%5Cdot%7Bx%7D_i%26%3Df_2(x_1%2Cx_2%2C...%2Cx_i)%2Bx_%7Bi%2B1%7D%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20.%26..%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%5Cdot%7Bx%7D_n%26%3Df_n(x_1%2Cx_2%2C...%2Cx_n)%2Bu%0A%0A%09%5Cend%7Baligned%7D%0A%09%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D$

$x%5Cin%20R%5En%2C%20u%5Cin%20R$ 为系统的状态变量和控制输入变量。系统的非线性部分 $f_i(x_1%2Cx_2%2C...%2Cx_i)$ 只与前i个状态变量相关

动态面控制的基本设计方法与反步法类似，也是从第一个系统开始，逐级往下设计控制，最终实现控制目标。在第i步中，将子系统

$%5Cdot%7Bx%7D_i%3Df_i(x_1%2Cx_2%2C...%2Cx_i)%2Bx_%7Bi%2B1%7D$

$x_%7Bi%2B1%7D$ 作为虚拟控制，通过适当的虚拟控制

$x_%7Bi%2B1%7D%3Da_%7Bi%2B1%7D(i%3D1%2C2%2C...%2Cn-1)$

$x_%7Bi%2B1%7D%3Da_%7Bi%2B1%7D$ ，因此需要引入误差变量，我们依据Lyapunov稳定性设计，使得 $x_%7Bi%2B1%7D$ 与虚拟控制 $a_%7Bi%2B1%7D$ 之间的误差收敛。在反步法中，通过虚拟控制，我们定义了n个误差变量

$%5Cbegin%7Bequation%7D%5Clabel%7Beq2%7D%0A%09%5Cleft%5C%7B%0A%09%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%09e_1%26%3Dx_1-y_d%5C%5C%0A%09%09e_2%26%3Dx_2-a_2(x_1)%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20.%26..%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20e_n%26%3Dx_n-a_n(x_1%2Cx_2%2C...%2Cx_%7Bn-1%7D)%0A%0A%09%5Cend%7Baligned%7D%0A%09%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D$

其中，在每一步构造Lyapunov函数使得系统每一个状态变量误差满足渐进稳定。

Step 1:对 $e_1$ 求导可得

$%5Cdot%7Be%7D_1%3Df_1(x_1)%2Bx_2-%5Cdot%7By%7D_d%3Df_1(x_1)%2Be_2%2Ba_2-%5Cdot%7By%7D_d$

我们定义虚拟控制量

$a_2%3D%5Cdot%7By%7D_d-f_1(x_1)-k_1e_1$

式中， $k_1$ 是反馈增益。

$a_2$ 输入到我们设计的一阶低通滤波器中

$%5Cfrac%7Ba_%7B2f%7D(s)%7D%7Ba_2(s)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT_2s%2B1%7D$

其中，T2为滤波器得到时间常数。我们把上式转换到时域有

$T_2%5Cdot%7Ba%7D_%7B2f%7D%2Ba_%7B2f%7D%3Da_2$

这时我们定义下面的误差

$%5Cgamma_2%20%3Da_%7B2f%7D-a_2$

$e_2$ 的误差也要修改为

$e_2%20%3Dx_%7B2%7D-a_%7B2f%7D$

则上式中的误差倒数可以表示为

$%5Cdot%7Be%7D_1%3Df_1(x_1)%2Be_2%2Ba_2%2B%5Cgamma_2-%5Cdot%7By%7D_d$

我们会构造如下Lyapunov函数

$V_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7De_1%5E2$

则

$%5Cdot%7BV%7D_1%3De_1(f_1(x_1)%2Be_2%2Ba_2%2B%5Cgamma_2-%5Cdot%7By%7D_d)%3D-k_1e_1%5E2%2Be_1(e_2%2B%5Cgamma_2)$

$e_2%2B%5Cgamma_2%3D0$ ，则上式满足渐进稳定。但是一般情况下 $e_2%2B%5Cgamma_2%20%5Cne%200$ ，因此，我们需要在引入虚拟控制量 $a_3$ 使其误差 $e_2%3Dx_2-a_%7B2f%7D$ 使其满足渐进稳定。

Step 2:对 $e_2$ 求导可得

$%5Cdot%7Be%7D_2%3Df_2(x_1%2Cx_2)%2Bx_3-%5Cdot%7Ba%7D_%7B2f%7D%3Df_2(x_1%2Cx_2)%2Be_3%2B%5Cgamma_3%2B%5Cfrac%7B%5Cgamma_2%7D%7BT_2%7D%2Ba_3$

$e_3%3Dx_3-a_%7B3f%7D%2C%5Cgamma_3%3Da_%7B3f%7D-a_3$ ，这里面的定义与上面滤波器内容的定义类似，在此不再赘述。

我们定义虚拟控制量

$a_3%3D-f_2(x_1%2Cx_2)-k_2e_2-%5Cfrac%7B%5Cgamma_2%7D%7BT_2%7D$

$k_2$ 是反馈增益，则上式中的误差倒数可以表示为

$%5Cdot%7Be%7D_2%3De_3-k_2e_2-e_1%2B%5Cgamma_3$

我们会构造如下Lyapunov函数

$V_2%3DV_1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7De_2%5E2$

$%5Cdot%7BV%7D_2%3D%5Cdot%7BV%7D_1%2Be_2%5Cdot%7Be%7D_2%3D-k_1e_1%5E2-k_2e_2%5E2%2Be_1%5Cgamma_2%2Be_2(e_3%2B%5Cgamma_3)$

$e_3%3D0$ ，则上式满足渐进稳定。但是一般情况下 $e_3%20%5Cne%200$ ，因此，我们需要在引入虚拟控制量 $a_4$ 使其误差 $e_3%3Dx_3-a_%7B3f%7D$ 使其满足渐进稳定。后面的设计以此类推。

Step n:对 $e_n$ 求导可得

$%5Cdot%7Be%7D_n%3Df_n(x_1%2Cx_2%2C...%2Cx_n)%2Bu-%5Cdot%7Ba%7D_%7Bnf%7D$

我们设计控制输入

$u%3D%5Cdot%7Ba%7D_%7Bnf%7D-f_n(x_1%2Cx_2%2C...%2Cx_n)-k_ne_n-e_%7Bn-1%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cgamma_n%7D%7BT_n%7D-f_n(x_1%2Cx_2%2C...%2Cx_n)-k_ne_n-e_%7Bn-1%7D$

$k_n$ 是反馈增益，则上式中的误差倒数可以表示为

$%5Cdot%7Be%7D_n%3D-k_ne_n-e_%7Bn-1%7D$

我们会构造如下Lyapunov函数

$V_n%3DV_%7Bn-1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7De_n%5E2$

$%5Cdot%7BV%7D_n%3D%5Cdot%7BV%7D_%7Bn-1%7D%2Be_2%5Cdot%7Be%7D_2%3D-k_1e_1%5E2-k_2e_2%5E2...-k_ne_n%5E2%2Be_1%5Cgamma_2%2Be_2%5Cgamma_3%2B...%2Be_%7Bn-1%7D%5Cgamma_n$

$%5Cgamma_i$ 足够小时，误差状态量是指数渐进稳定的。另外通过上面设计方法可知，在滤波器设计的时候 $T_i$ 不能选择过大，否则容易引起闭环系统的振荡甚至发散。

为了阐述上面的设计思路，我们以一个二阶非线性系统为例子进行设计说明，并在Matlab/Simulink环境下进行验证。

$%5Cbegin%7Bequation%7D%5Clabel%7Beq2%7D%0A%09%5Cleft%5C%7B%0A%09%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%09%26m%5Cddot%7Bx%7D%2Bc%5Cdot%7Bx%7D%2Bd%3Du%5C%5C%0A%09%09%26y%3Dx%0A%20%20%0A%20%20%20%20%20%0A%0A%09%5Cend%7Baligned%7D%0A%09%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D$

$m%2Cc%2Cd$ 均为已知量， $u$ 表示控制输入， $y$ 表示系统的输出。

$x_1%3Dx%2Cx_2%3D%5Cdot%7Bx%7D$ ，则上面系统可以转化为

$%5Cbegin%7Bequation%7D%5Clabel%7Beq2%7D%0A%09%5Cleft%5C%7B%0A%09%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%09%26%5Cdot%7Bx%7D_1%3Dx_2%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%5Cdot%7Bx%7D_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D(u-cx_2-d)%5C%5C%0A%09%09%26y%3Dx_1%0A%20%20%0A%20%20%20%20%20%0A%0A%09%5Cend%7Baligned%7D%0A%09%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D$