【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第二章导数和微分——二、求导方法 

§2-13隐函数的导数

【01】如果要求椭圆 x²/a²＋y²/b²＝1 上一点 (x，y) 处的切线的方程，就要求出切线的斜率 y'x  。当然我们可以从方程中解出 y＝±√(a²－x²)，再求 y'x  。但是，有时解方程很麻烦，而且有些方程，例如 xy－eˣ＋eʸ＝0，就不能用 x 的初等函数把 y 表示出来。

【02】如果变量 x，y 之间的函数关系是由某一方程 F(x，y)＝0 所确定，这样确定的函数叫做隐函数。例如，由方程 y²－2px＝0，x²/a²＋y²/b²＝1， 等所确定的 x，y 之间的函数关系（有时所确定的是几个函数关系）就是隐函数。下面举例来说明求隐函数的导数的方法。

例1.

(1) 已知 y²＝2px，求 y'x  。

(2) 求证抛物线 y²＝2px 上点 (x₀，y₀) 处的切线的方为 y₀y＝p(x＋x₀)  。

【解】

(1)

把 y 看成 x 的函数，则 y² 是 x 的复合函数，运用复合函数的求导法则，在方程两边同时对 x求导：

(y²)'x＝(2px)'x，

2y·y'x＝2p，

∴ y'x＝p/y  。

这里的 y 仍由方程 y²＝2px 确定。

（上式在分母不等于零的条件下成立，以后不再一一注明）

(2)

当 x＝x₀，y＝y₀≠0 时，y'z＝p/y₀，

所以所求的切线的方程为 y－y₀＝p(x－x₀)／y₀，

即 y₀y－2px₀＝px－px₀  。

∵ y₀²＝2px₀，

所求的切线的方程为 y₀y－2px₀＝px－px₀，

即 y₀y＝p(x＋x₀)  。

当 y₀＝0 时，x₀＝y₀²/2p＝0  。抛物线 y²＝2px 在点 (0，0) 处的切线为 y 轴，它的方程 x＝0 是方程 y₀y＝p(x＋x₀) 的特殊形式。

例2.求证椭圆  上点 (x₀，y₀) 处的切线的方程为   。

【证明】

y₀≠0 时，在点 (x₀，y₀) 处的切线的方程为 y－y₀＝－(b²x₀／a²y₀)(x－x₀)，

即 b²x₀x＋a²y₀y＝b²x₀³ ＋a²y₀³  。

∵ 点 (x₀，y₀) 在椭圆 x²/a²＋y²/b²＝1 上，

∴ x₀²/a²＋y₀²/b²＝1 ，

b²x₀² ＋a²y₀²＝a²b²  。

所求的切线的方程为 b²x₀x＋a²y₀y＝a²b²，

  。

 的特殊形式。

 上点 (x₀，y₀) 处的切线的方程为   。

练习

1、求曲线 x²＋2xy－y²＝2x 在点 (2，4) 处的切线的方程。

2、求曲线 √x＋√y＝3 在点 (1，4) 处的切线和法线方程。

3、

(1) 写出椭圆 9x²＋y²＝25 在点 P(－1，－4) 处的切线和法线方程；

(2) 写出双曲线 x₀²/18－y₀²/4＝1 在点 P(6，2) 处的切线和线方程。

，得出切线方程为 2x/4＋√3 y/9＝1  。这个结果对不对？为什么？