Euler法，梯形法，RK2，RK4对ODE应用的matlab代码和误差分析及图像输出——数值方法

作者：小埋埋土里发布时间：2023-04-29

编程 ChatGPT

一次挺满意的小组合作，记录一下使用的代码和过程。事先声明代码来自chatGPT，由于CSDN上没有找到类似的代码，这也是为以后或许要用到的同学留个资源吧。虽然说代码不是亲自写的，理解还是很容易，顺便注明一些我们走的弯路。

数值方法：

欧拉法：

很容易理解，顺带提一句chatGPT的代码注释真的很强大。

欧拉法调用方法：

$y'%3D10y(1-y)$ ，所以下面的都以这个ODE为例，再顺带提一句，使用matlab解ODE用dsolve就好。）

本来想解释一下，但真没啥解释的...定义函数，初值，区间，步长，调用函数，画图，坐标轴和图名，就这些。

欧拉法输出图像：

梯形法：

英文是Trapezoidal method，tra pe zo i dal，梯形。

这次tspan是区间，不懂就看下面输入案例。

梯形法调用方法：

梯形法输出图像：

RK2：

RK2调用方法：

图不放了，同上（虽然说调用方法也类似，我还是把饼递到嘴边吧）。

RK4：

RK4调用方法：

误差分析：

我们做的误差分析是得出原函数在t=1时的值和数值方法逼近的值差的绝对值再取对数，听着有点麻烦啊，写成式子应该是这样： $%5Ctext%7Berror%7D%3D%5Clog%7B%7Cy(1)-y_%7Bm%7D(1)%7C%7D$ 。这里我们将步长设为自变量，从10的-1到-6次方，误差为因变量，这样取对数后，正常的误差分析结果应该是几条斜率不同的直线。

代码：

误差分析图像：

小问答：这里直线的斜率分别为1，2，4，原因是什么？

另外，效果最好的是RK4，我一开始疑惑为什么RK4方法会触底反弹，chatGPT的解释是：

使用RK4方法拟合函数时，有时在步长减小到一个值时，随着步长继续减小，误差反而增大的原因：在RK4方法中，步长的大小会影响拟合精度，通常情况下，减小步长可以提升拟合的精度。然而，当步长继续减小时，误差反而增大的原因在于舍入误差的影响。由于计算机存储浮点数是有限精度的，当步长较小时，函数的微小变化可能会因为精度不足而被忽略，从而导致误差逐渐累积，最终使得计算结果和真实结果之间的差距增大。

我也询问了为什么欧拉法和RK2为什么不会如此，chatGPT解释是：

欧拉法和RK2方法在同样的函数上进行数值积分时，没有出现这种问题的原因是因为它们的计算精度相对较低，误差随着步长的减小而不是增大。欧拉法和RK2方法都是数值积分常用的一阶显式方法，与RK4方法相比，它们的计算复杂度较低，每次迭代只需要使用一次函数导数计算即可。这种简单的计算方式使得它们在处理简单的函数时更加高效。然而，这种高效性也带来了精度的牺牲。相较于RK4方法的四阶精度，欧拉法只有一阶，而RK2方法只有二阶。因此，在进行数值积分时，它们的误差通常较大。

一些踩坑：

之后，我们换了一个新的函数，区间设为0到60。我们一开始想用函数中间的值来对比误差，即y(30)，结果搞出一个四不像图像，具体的就不放了。后来在做报告前，我们才发现在误差分析的代码中，我们用了例如y_exact(t_euler(end))的函数。我们将步长，初值，区间和取值全都换为了新的函数，但就是没发现这个...最后作差是将函数中间数值方法的值和原函数末端值比较，当然完全不对了。还是没有完全理解如此简单的代码啊。顺带一提这些迭代的方法，比较函数末端(end)值其实应该是最能显示误差的。

最后看看我们对另一个函数做的误差分析图吧：