【机器学习】决策树（一）：信息熵和信息增益

在“机器学习”系列专栏中我们已经讲了多种机器学习算法，今天我们继续来看一个在现实生活中应用比较多的机器学习算法：决策树，决策树在概念上非常简单，就是根据数据特征构建一个树状结构，但构建树的过程中分叉节点选择哪个特征却暗藏玄机，特征选择也最终决定了树的好坏，接下来我们通过两篇文章来揭示其中的奥秘，本篇是第一篇：让我们先来看一下信息熵和信息增益的概念。

信息熵是信息论中的概念，信息论应用概率与统计来研究信息的传递，并逐步应用到机器学习中，信息论的概念比较枯燥，为了让你更轻松地学习，让我从一个生动的案例开始。最近我在朋友圈看到一个小游戏，叫“测一测你是金庸笔下的哪个人物？”。玩这个游戏的步骤是，先做几道题，然后根据你的答案，生成对应的结果。下面是我几位朋友答题之后得到的结果。

这种测试挺好玩的，而且好像有很多类似的，比如测星座啊、测运势啊等等。那你知道这种心理或者性格测试的题目是怎么设计的吗？

通常，这种心理测试会有一个题库，包含了许多小题目，也就是从不同的方面，来测试人的性格。不过，针对特定的测试目标，我们可能没必要让被测者回答所有的问题。那么，问卷设计者应该如何选择合适的题目，才能在读者回答尽量少的问题的同时，相对准确地测出自己是什么“性格”呢？这里，我们就需要引入基于概率分布的信息熵的概念，来解决这个问题。

什么是信息熵？

我还是拿刚刚那个“测测你是哪个武侠人物”的小游戏举例子。我设计了一个测试题，你可以看看下面这个图表。这个表里一共有 10 个人物。每个人物都有性别、智商、情商、侠义和个性共 5 个属性。相应地，我会设计 5 道题目分别测试这 5 个属性所占的比例。最后，将测出的 5 个属性和答案中的武侠人物对照，就可以找到最接近的答案，也就是被测者对应的武侠人物。

这个过程非常简单，你应该很容易就能理解。在这个设计过程中，起决定性作用的环节其实就是，如何设计这 5 道题目。比如，题目的先后顺序会不会直接影响要回答问题的数量？每个问题在人物划分上，是否有着不同的区分能力？这些都是信息熵要解决的问题。

在这里给大家剧透一下，设计题目的过程中，题目的顺序决定了哪个题目放在第一位，哪个题目放在最后一位，这个不正是决策树节点选择特征的过程嘛！树也是分层次的。

我们先来看，这里的区分能力指的是什么呢？每一个问题都会将被测试者划分为不同的人物分组。如果某个问题将属于不同人物分组的被测者，尽可能地划分到了相应的分组，那么我们认为这个问题的区分能力较强。相反，如果某个问题无法将属于不同人物分组的被测者划分开来，那么我们认为这个问题的区分能力较弱。为了帮你进一步理解，我们先来比较一下“性别”和“智商”这两个属性。

首先，性别属性将武侠人物平均地划分为一半一半，也就是说“男”和“女”出现的先验概率是各 50%。如果我们假设被测试的人群，其男女性别的概率分布也是 50% 和 50%，那么关于性别的测试题，就能将被测者的群体大致等分。

我们再来看智商属性。我们也将武侠人物划分为 2 个小集合，不过“智商高”的先验概率是 80%，而“智商中等”的先验概率只有 20%。同样，我们假设被测试的人群，其智商的概率分布也是类似地，那么经过关于智商的测试题之后，仍然有 80% 左右的不同人物还是属于同一个集合，并没有被区分开来。因此，我们可以认为关于“智商”的测试题，在对人物进行分组这个问题上，其能力要弱于“性别”的测试题。

但上面两个属性的区分能力的强弱都是凭我们的直觉猜测出来的，那有没有一个衡量指标来衡量区分度呢？答案就是信息熵和信息增益。

首先，怎么来理解信息熵呢？信息熵，我们通常简称为熵，其实就是用来刻画给定集合的纯净度的一个指标。你可能要问了，那纯净度是啥呢？我举个例子给你解释一下。比如说，一个集合里的元素全部是属于同一个分组，这个时候就表示最纯净，我们就说熵为 0；如果这个集合里的元素是来自不同的分组，那么熵是大于 0 的值。其具体的计算公式如下：

表示属于第 i 个分组的元素在集合中出现的概率。

你可能要问了，这个公式是怎么来的呢？想要解释这个，我们还要从信息量说起。熵的公式是用来计算某个随机变量的信息量之期望，而信息量是信息论中的一个度量，简单来说就是，当我们观察到某个随机变量的具体值时，接收到了多少信息。而我们接收到的信息量跟发生事件的概率有关。事情发生的概率越大，产生的信息量越小；事情发生的概率越小，产生的信息量越大。

举个例子，来进一步解释一下信息量概念，“中国国家足球队赢得了卡塔尔世界杯冠军“，”中国乒乓球国家队赢得了奥运会冠军“，这两个哪个信息量大？答案是第一个，因为国足赢得世界杯冠军相当于小概率事件，你听到这个消息后肯定会大吃一惊，国乒赢得冠军那就是很平常的事情啦，根据上面的信息熵计算公式，国足赢球概率小，所及计算的熵就很大。

因此，我们想要设计一个能够描述信息量的函数，就要同时考虑到下面这三个特点：

• 信息量应该为正数；

• 一个事件的信息量和它发生的概率成反比；

• H(x) 与 P(x) 的对数有关。其中 H(x) 表示 x 的信息量，P(x) 表示 x 出现的概率。假设有两个不相关的事件 x 和 y，我们观察到这两个事件同时发生时获得的信息量，应该等于这两个事件各自发生时获得的信息量之和，用公式表达出来就是 H(x,y)=H(x)+H(y)。之前我们说过，如果 x，y 是两个不相关的事件，那么就有 P(x,y)=P(x)∗P(y)。

依照上述这三点，我们可以设计出信息量公式：H(x)=−log(P(x),2)。函数 log 的使用是体现了 H(x) 和 P(x) 的对数关系（我们可以使用其他大于 1 的数字作为对数的底，我这里使用 2 只是约定俗成。而最开始的负号是为了保证信息量为正）。这个公式可以量化随机变量某种取值时，所产生的信息量。最后，加上计算随机变量不同可能性所产生的信息量之期望，我们就得到了熵的公式。

从集合和分组的角度来说，如果一个集合里的元素趋向于落在同一分组里，那么告诉你某个元素属于哪个分组的信息量就越小，整个集合的熵也越小，换句话说，整个集合就越“纯净”。相反，如果一个集合里的元素趋向于分散在不同分组里，那么告诉你某个元素属于哪个分组的信息量就越大，整个集合的熵也越大，换句话说，整个集合就越“混乱”。

我们再从物体热力学的角度进一步体验一下熵的概念，容器内如果只有一种气体分子，则相对稳定，不会发生能量的交换，如果是两种分子，且分子能量不一样，则能量高的分子会向能量低的分子运动，直到达到平衡状态。

为了帮你理解运用，这里我再举几个例子帮助你更好地消化这个公式。我们首先来看一个集合，它只包含了来自 A 组的元素。

那么集合中分组的数量 n 为 1，A 分组的元素在集合中出现的概率为 100%，所以这个集合的熵为 -100%*log(100%, 2) = 0。

我们再来看另一个集合，它只包含了来自 A 组和 B 组的元素，其中 A、B 两组元素数量一样多，各占一半。

那么集合中分组的数量 n 为 2，A 和 B 分组的元素在集合中出现的概率各为 50%，所以这个集合的熵为 2*(-50%*log(50%, 2)) = 1，高于刚才那个集合。

从上述两个集合的对比可以看出，一个集合中所包含的分组越多、元素在这些分组里分布得越均匀，熵值也越大。而熵值表示了纯净的程度，或者从相反的角度来说，是混乱的程度。

好了，你已经知道单个集合的熵是如何计算的了。那么，如果将一个集合划分成多个更小的集合之后，又该如何根据这些小集合，来计算整体的熵呢？之前我们提到了信息量和熵具有加和的性质，所以对于包含多个集合的更大集合，它的信息量期望值是可以通过每个小集合的信息量期望值来推算的。具体来说，我们可以使用如下公式：

表示划分后其中某个小集合，Entropy() 表示某个小集合的熵，而 ∣P∣/∣∣ 表示某个小集合出现的概率。所以这个公式其实就表示，对于多个小集合而言，其整体的熵等于各个小集合之熵的加权平均。而每个小集合的权重是其在整体中出现的概率。

我用个例子进一步解释这个公式。假设 A、B、C 三个集合是一个大的整体，我们现在将 C 组的元素和 A、B 组分开。

根据之前单个集合的熵计算，A 和 B 组元素所组成的小集合，它的熵是 1。而 C 组没有和其他组混合，所形成的小集合其熵为 0。在计算前两个小集合的整体熵时，A 组和 B 组形成的集合出现的概率为 2/3，而 C 组形成的集合出现概率为 1/3，所有整体熵 =2/3∗1+1/3∗0=0.67。

什么是信息增益？

如果我们将划分前后的整体熵做个对比，你会发现划分后的整体熵要小于划分之前的整体熵。这是因为每次划分，都可能将不同分组的元素区分开来，降低划分后每个小集合的混乱程度，也就是降低它们的熵。我们将划分后整体熵的下降，称为信息增益（Information Gain）。如果划分后整体熵下降得越多，信息增益就越大。我列出公式以便你理解。

) 表示特征 T 取值为 v 分组的熵。减号后面的部分表示选择 T 做决策之后，各种取值加权平均后整体的熵。

Gain(P,T) 表示两个熵值之差，越大表示信息增益越多，越应该选择这维特征 T。

我们把这个概念放到咱们的小游戏里就是，如果一个测试问题能够将来自不同分组的人物尽量的分开，也就是该划分对应的信息增益越高，那么我们就认为其区分能力越高，提供的信息含量也越多。好，说到这里，让我们从游戏的最开始出发，比较一下有关性别和智商的两个测试题。

再次回到我们之前的例子，在提出任何问题之前，我们无法知道被测者属于哪位武侠人物，因此所有被测者属于同一个集合。假设被测者的概率分布和这 10 位武侠人物的先验概率分布相同，那么被测者集合的熵为 10*(-1 * 0.1 * log(0.1, 2))=3.32。

通过性别的测试问题对人物进行划分后，我们得到了两个更小的集合，每个小集合都包含 5 种不同的人物分组，因此每个小集合的熵是 (-1 * 5 * 0.2 * log(0.2, 2)) = 2.32，两个小集合的整体熵是 0.5 * 2.32 + 0.5 * 2.32 = 2.32。因此使用性别的测试题后，信息增益是 3.32 - 2.32 = 1。

而通过智商的测试问题对人物分组后，我们也得到了两个小集合，一个包含了 8 种人物，另一个包含了 2 种人物。包含 8 种人物的小集合其熵是 (-1* 8 * 0.125 * log(0.125, 2)) = 3，包含 2 种人物的小集合其熵是 (-1* 2 * 0.5 * log(0.5, 2)) = 1。两个小集合的整体熵是 0.8 * 3 + 0.2 * 1 = 2.6。因此使用智商的测试题后，信息增益是 3.32 - 2.6 = 0.72，低于基于性别的测试。所以，我们可以得出结论，有关性别的测试题比有关智商的测试题更具有区分能力。

信息增益和信息熵是紧密相关的。如果说信息熵衡量了某个状态下，每个分组的纯净程度或者说混乱程度，那么信息增益就是比较了不同状态下，信息熵的差异程度。

本篇了解了信息熵和信息增益的概念，下一篇我们将进入决策树的构建过程。