AIGC: DDIM (Denoising Diffusion Implicit Models) 笔记

作者：刹那-Ksana-发布时间：2023-07-19

AIGC

TL;DR: 去噪扩散隐式模型 (DDIM) 是利用非马尔可夫的思想，以牺牲一小部分图片质量为代价，对图像生成过程大幅度加速的采样方法。

这个话题太过复杂，如内容有错误，还请在评论里面指正。

本人数学不好，尽量绕开复杂的公式（?）

大局观

首先，有一个问题必须要回答——为什么 DDPM 要基于马尔可夫链，马尔可夫链到底起一个什么样的作用。

在这里，以一个小白的视角来理一下DDPM的大致过程：

$q(%5Cmathbf%7Bx%7D_t%7C%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D)%20%3A%3D%20%20%5Cmathcal%7BN%7D(%5Cmathbf%7Bx%7D_t%3B%5Csqrt%7B1-%5Cbeta_t%7D%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%2C%5Cbeta_t%20%5Cmathbf%7BI%7D)$ 。

在多次加噪之后，数据最终将会变成高斯分布。

$p_%5Ctheta(%5Ctextbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%7C%5Ctextbf%7Bx%7D_%7Bt%7D)%20%3A%3D%20%5Cmathcal%7BN%7D(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%3B%20%5Cmu_%5Ctheta(%5Cmathbf%7Bx%7D_t%2C%20t)%2C%20%5CSigma_%5Ctheta(%5Cmathbf%7Bx%7D_t%2C%20t))$ 去贴合去噪的分布。

$p_%5Ctheta$ (事实上我们也没有去学习 $p_%5Ctheta$ ). 我们的最终目的，是去模拟出原始数据的分布 $p(%5Ctextbf%7Bx%7D_0)$ .

$%5Cmathbb%7BE%7D%5Bp_%5Ctheta%20(%5Ctextbf%7Bx%7D_0)%5D$ （很明显，如果我们能够直接极大化似然的话，就不用在这里费这么大力气了😂）, DDPM 的优化目标是最大化其变分下界（Evidence Lower Bound） $%5Cmathbb%7BE%7D_q%5B%5Clog%5Cfrac%7Bp_%7B%5Ctheta%7D(x_0%2C%20x_%7B1%3AT%7D)%7D%7Bq(x_%7B1%3AT%7D%7Cx_%7B0%7D)%7D%5D$ . （这里 $x_%7B1%3AT%7D$ 的意思是 $x_1%2C%20x_2%2C...%2Cx_T$ ）

我们在 log 前面加一个负号，把最大化目标变成最小化目标，于是就得到了 DDPM 的优化目标：

$L%3D%5Cmathbb%7BE%7D_q%5B-%20%5Clog%5Cfrac%7Bp_%7B%5Ctheta%7D(x_%7B0%3AT%7D)%7D%7Bq(x_%7B1%3AT%7D%7Cx_%7B0%7D)%7D%5D$

$q(x_%7B1%3AT%7D%7Cx_%7B0%7D)$ . 很明显，这是一个依赖于 $%5Ctextbf%7Bx%7D_0$ 的联合分布（Joint Distribution）. 对于联合分布，我们初高中学过，有链式法则

$P(x_%7B1%3A3%7D)%3DP(x_3%7Cx_2%2Cx_1)P(x_2%7Cx_1)P(x_1)$

而在马尔可夫链的情况下，上面这个公式将变成

$P(x_%7B1%3A3%7D)%3DP(x_3%7Cx_2)P(x_2%7Cx_1)P(x_1)$

所以，在马尔可夫链的前提下, $q(x_%7B1%3AT%7D%7Cx_%7B0%7D)$ 这个联合分布可以被写成如下的乘积形式（如果外面带 log 的话就相当于加和形式）

$q(x_%7B1%3AT%7D%7Cx_%7B0%7D)%3D%5Cprod%5Cnolimits_%7Bt%5Cgeq1%7D%20q(x_t%7Cx_%7Bt-1%7D)$

$p_%7B%5Ctheta%7D(x_%7B0%3AT%7D)$ 也是差不多的道理，这里就不去花力气解释了。总之，在马尔可夫链的前提下，上面的优化目标可以进一步地写下去：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26%20%5Cmathbb%7BE%7D_q%20%5B%20-%20%5Clog%20%5Cfrac%7Bp_%5Ctheta(%5Ctextbf%7Bx%7D_%7B0%3AT%7D)%7D%7Bq(%5Ctextbf%7Bx%7D_%7B1%3AT%7D%20%7C%20%5Ctextbf%7Bx%7D_0)%7D%20%5D%20%5C%5C%0A%26%3D%5Cmathbb%7BE%7D_%7Bq%7D%5B%20-%5Clog%20p(%5Cmathbf%7Bx%7D_T)%20-%20%5Csum_%7Bt%20%5Cgeq%201%7D%20%5Clog%20%5Cfrac%7Bp_%5Ctheta(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_t)%7D%7Bq(%5Cmathbf%7Bx%7D_t%7C%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D)%7D%20%5D%0A%5Cend%7Balign*%7D$

$%5Clog%5Cfrac%7Bp_%5Ctheta(%5Cmathbf%7Bx%7D_0%7C%5Cmathbf%7Bx%7D_1)%7D%7Bq(%5Cmathbf%7Bx%7D_1%7C%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%7D$ 这一项从 $%5Csum_%7Bt%20%5Cgeq%201%7D%20%5Clog%20%5Cfrac%7Bp_%5Ctheta(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_t)%7D%7Bq(%5Cmathbf%7Bx%7D_t%7C%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D)%7D$ 中拆分出来。然后我们再将 $%5Csum_%7Bt%20%5Cgt%201%7D%20%5Clog%20%5Cfrac%7Bp_%5Ctheta(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_t)%7D%7Bq(%5Cmathbf%7Bx%7D_t%7C%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D)%7D$ 改写一下，变成 $%5Csum_%7Bt%20%3E%201%7D%20%5Clog%20%5Cfrac%7Bp_%5Ctheta(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_t)%7D%7Bq(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%7C%5Cmathbf%7Bx%7D_t%2C%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%7D%5Ccdot%5Cfrac%7Bq(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%7C%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%7D%7Bq(%5Cmathbf%7Bx%7D_t%7C%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%7D$ 的形式（后面一项可以被相互抵消掉），然后我们就得到了目标的一个新的形式：

$%5Cmathbb%7BE%7D_%7Bq%7D%5B%20%5Cmathbf%7BD%7D_%7Bkl%7D(q(%5Cmathbf%7Bx%7D_T%7C%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%7C%7Cp(%5Cmathbf%7Bx%7D_T))%20%2B%20%5Csum_%7Bt%20%3E%201%7D%20%5Cmathbf%7BD%7D_%7Bkl%7D(q(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%7C%5Cmathbf%7Bx%7D_t%2C%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%7C%7C%7Bp_%5Ctheta(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_t)%7D)%20-%20%5Clog%20p_%5Ctheta(%5Cmathbf%7Bx%7D_0%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_1)%20%5D$

至此，我们利用了马尔可夫链的性质对公式做了变形，如果我们把高斯分布这一个条件也加上去的话，我们可以对上面的目标做进一步的推导（这里就省略过程了，如果想知道过程，可以参考之前推荐的DDPM的文章，或者DDIM原论文附录C，链接在文章末尾），得到如下的最终形式：

$L_%5Cgamma%3D%5Csum_%7Bt%3D1%7D%5E%7BT%7D%5Cgamma_t%20%5Cmathbb%7BE%7D_%7Bx%5Csim%20q(x_t%7Cx_0)%7D%5B%7C%7C%20%5Cepsilon_t-%5Cepsilon_%7B%5Ctheta%7D(x_t%2Ct)%20%7C%7C_2%5E2%5D%2C%20%5Cepsilon_t%20%5Csim%20%5Cmathcal%7BN%7D(0%2CI)$

$L$ ，依赖于 $q(x_t%7Cx_0)$ 而不是联合分布 $q(x_%7B1%3AT%7D%7Cx_0)$ . 那么什么是 $q(x_t%7Cx_0)$ 呢？首先，这是个加噪/前向过程，并且根据定义，有

$q(x_t%7Cx_0)%3A%3D%5Cint%20q(x_%7B1%3AT%7D%7Cx_0)dx_%7B1%3A(t-1)%7D$

并且，根据马尔可夫链和高斯分布的两个大前提，我们还知道，

$q(x_t%7Cx_0)%3A%3D%5Cint%20q(x_%7B1%3AT%7D%7Cx_0)dx_%7B1%3A(t-1)%7D%20%3D%20%5Cmathcal%7BN%7D(x_t%3B%5Csqrt%7B%5Calpha_t%7Dx_0%2C(1-%5Calpha_t)I)$

呃，所以扯了大半天，这家伙在一本正经的胡说八道什么？

$q(x_t%7Cx_0)%3A%3D%5Cint%20q(x_%7B1%3AT%7D%7Cx_0)dx_%7B1%3A(t-1)%7D$ 到公式的“解” $%5Cmathcal%7BN%7D(x_t%3B%5Csqrt%7B%5Calpha_t%7Dx_0%2C(1-%5Calpha_t)I)$ ，我们是通过了马尔可夫链推导出来的。但是实际上，我们未必一定要通过马尔可夫链去"求解"。有没有一种方法，基于非马尔可夫链的方式，也能求得这个"解"呢？

非马尔可夫过程

这里，直接照搬论文给出的标准答案了。如果我们的概率分布 q 满足以下的条件：

$q_%5Csigma(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7B1%3AT%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%20%3A%3D%20q_%5Csigma(%5Cmathbf%7Bx%7D_T%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%20%5Cprod_%7Bt%3D2%7D%5E%7BT%7D%20q_%5Csigma(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt%7D%2C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%2C%20%5Csigma%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D_%7B%5Cgeq%200%7D%5E%7BT%7D$

$q_%5Csigma(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7BT%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%20%3D%20%5Cmathcal%7BN%7D(%5Csqrt%7B%5Calpha_T%7D%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0%2C%20(1%20-%20%5Calpha_T)%20%5Cmathbf%7BI%7D)$

$%5Ccolor%7Bpurple%7D%20%7Bq_%5Csigma(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_t%2C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%20%3D%20%5Cmathcal%7BN%7D(%5Csqrt%7B%5Calpha_%7Bt-1%7D%7D%20%5Cmathbf%7Bx%7D_%7B0%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B1%20-%20%5Calpha_%7Bt-1%7D%20-%20%5Csigma%5E2_t%7D%20%5Ccdot%20%7B%5Cfrac%7B%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt%7D%20%20-%20%5Csqrt%7B%5Calpha_%7Bt%7D%7D%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0%7D%7B%5Csqrt%7B1%20-%20%5Calpha_%7Bt%7D%7D%7D%7D%2C%20%5Csigma_t%5E2%20%5Cmathbf%7BI%7D)%7D$

$q_%5Csigma(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%20%3D%20%5Cmathcal%7BN%7D(%5Csqrt%7B%5Calpha_t%7D%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0%2C%20(1%20-%20%5Calpha_t)%20%5Cmathbf%7BI%7D)$ .

上面的第三个公式非常重要，至于怎么来的，论文没有给出过程和说明。网上有许多大神们针对这一步写了不少文章，感兴趣的可以去看（链接在文章末尾）。

然后我们利用贝叶斯理论（Bayes' Rule）获得非马尔科夫下的前向过程：

$q_%5Csigma(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%2C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%20%3D%20%5Cfrac%7Bq_%5Csigma(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt%7D%2C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%20q_%5Csigma(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%7D%7Bq_%5Csigma(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%7D$

$q(x_t%7Cx_%7Bt-1%7D)$ 不再已知。

$q_%5Csigma(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7Bt-1%7D%20%7C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_t%2C%20%5Cmathbf%7Bx%7D_0)%20$ ，和前向一样，同时依赖于 $x_t$ 和 $x_0$ . 当然遵循 DDPM 的思路，我们可以将这个概率分布改写一下

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26%20x_%7Bt-1%7D%3D%5Csqrt%7B%5Calpha_%7Bt-1%7D%7Dx_0%2B%5Csqrt%7B1-%5Calpha_%7Bt-1%7D-%5Csigma_t%5E2%7D%20%5Ccdot%20%5Cepsilon_%5Ctheta%5E%7B(t)%7D(x_t)%2B%5Csigma_t%20%5Cepsilon_t%20%5C%5C%0A%26%20x_0%20%3D%20(x_t-%5Csqrt%7B1-%5Calpha_t%7D%20%5Ccdot%20%5Cepsilon_%5Ctheta%5E%7B(t)%7D(x_t))%2F%5Csqrt%7B%5Calpha_t%7D%0A%5Cend%7Balign%7D$

这里注意 α 和 σ 长得特别像，不要搞错了 (lll￢ω￢)。另外，在这里，我们依旧是老老实实地在一步步地进行采样，还没有涉及到任何加速采样的内容。

借用 DDPM 模型

BANG! 又是一个重磅炸弹——DDIM 不需要再训练一个单独的模型，直接利用已经训练好的 DDPM 模型就可以进行采样。

$%5Csigma%3E0$ , 都存在 $%5Cgamma%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5ET_%7B%5Cgt%200%7D$ , 和一个常数 $C%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D$ , 使得等式 $J_%7B%5Csigma%7D%3DL_%7B%5Cgamma%7D%2BC$ 成立。（这是什么天书）

这里对于论证过程不做叙述，但是有必要解释一下上面的这个结论是什么意思。

$J_%5Csigma$ ，或者完整地说， $J_%5Csigma%20(%5Cepsilon_%5Ctheta)$ , 是我们 DDIM 非马尔可夫过程下的目标，而 $L_%7B%5Cgamma%7D$ 是我们利用 DDPM 推导出来的目标（上文中有完整的公式）。这里主要想说的一点，就是因为两者目标相等，所以 DDIM 可以借用其对应的参数下的 DDPM 的模型。

$%5Cepsilon_%5Ctheta$ , 在不同的时间 t, 权重是不共享的（比如，不同的时间点 t，我们都用一个不同的神经网络）。那么最小化目标 $L_%5Cgamma$ 就变成了独立地最小化 $%5Csum_%7Bt%3D1%7D%5E%7BT%7D%5Cgamma_t%20%5Cmathbb%7BE%7D_%7Bx%5Csim%20q(x_t%7Cx_0)%7D%5B%7C%7C%20%5Cepsilon_t-%5Cepsilon_%7B%5Ctheta%7D(x_t%2Ct)%20%7C%7C_2%5E2%5D$ 里面的每一项，于是 $%5Cgamma_t$ 在优化目标的时候就不再起作用（我们最优解 $%5Cepsilon_%5Ctheta$ 将不再依赖 $%5Cgamma$ 的取值）。比如，我们可以取 $%5Cgamma%3D1$ ，那么这就变成了 DDPM 原论文中的情况。

加速推理

所以，讲了这么多废话。终于到了最关键的部分——如何利用DDIM来加速推理。

$%5C%7B1%2C2%2C3%2C...%2C999%2C1000%5C%7D$ 的集合中，取一个子集出来 $%5C%7B%5Ctau_1%2C%20%5Ctau_2%2C%5Ctau_3%2C...%5C%7D$ , 这个子集的长度将远小于1000。然后我们把 $x_%5Ctau%2C%20x_%7B%5Ctau-1%7D$ 带入非马尔可夫过程这一节里面的迭代公式，就得到了我们加速采样的过程。

Why? 首先，论文里面把联合分布拆解成了以下的形式。

$p_%5Ctheta(%5Cmathbf%7Bx%7D_%7B0%3AT%7D)%20%3A%3D%20p_%7B%5Ctheta%7D(x_T)%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7BS%7Dp_%7B%5Ctheta%7D%5E%7B(%5Ctau_i)%7D(x_%7B%5Ctau_%7Bi-1%7D%7D%7Cx_%7B%5Ctau_%7Bi%7D%7D)%5Ctimes%20%5Cprod_%7Bt%5Cin%20%5Cbar%7B%5Ctau%7D%7D%20p_%7B%5Ctheta%7D%5E%7B(t)%7D(x_0%7Cx_t)$

$L_%5Cgamma$ 是等价的。

$%5Csigma%3D0$ 的情况）。所以目前就把它当作一个定理来看吧，不要太深究了。

ODE

上一篇文章最后留了一个坑没填。

$%5Csigma%3D0$ 时，那么方差这一项就变成了 0. 于是原先的 stochastic 的过程就变成了 deterministic 的过程（即，已知 $x_t$ 和 $x_0$ 的情况下， $x_%7Bt-1%7D$ 是一个确定的值；意味着从相同的噪音出发，将会导出相同的图片）

$%5Csigma%3D0$ 的离散情况连续化，就能得到对应的 ODE.

$x_i$ 出发

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26%20x_%7Bt-1%7D%3D%5Csqrt%7B%5Calpha_%7Bt-1%7D%7Dx_0%2B%5Csqrt%7B1-%5Calpha_%7Bt-1%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cepsilon_%5Ctheta%5E%7B(t)%7D(x_t)%20%5C%5C%0A%26%20x_0%20%3D%20(x_t-%5Csqrt%7B1-%5Calpha_t%7D%20%5Ccdot%20%5Cepsilon_%5Ctheta%5E%7B(t)%7D(x_t))%2F%5Csqrt%7B%5Calpha_t%7D%0A%5Cend%7Balign%7D$

$N%20%5Cto%20%5Cinfty$ , 然后我们再把它压缩到一个连续的区间 [0,1] 上面去，所以 $%5CDelta%20t%3D1%2FN$ , 并且

$%5Cfrac%7Bx_%7Bt-%5CDelta%20t%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Calpha_%7Bt-%5CDelta%20t%7D%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bx_t%7D%7B%5Csqrt%7B%5Calpha_%7Bt%7D%7D%7D%2B(%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1-%5Calpha_%7Bt-%5CDelta%7Bt%7D%7D%7D%7B%5Calpha_%7Bt-%5CDelta%20t%7D%7D%7D%20-%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1-%5Calpha_%7Bt%7D%7D%7B%5Calpha_%7Bt%7D%7D%7D)%5Cepsilon_%5Ctheta(x_t%2Ct)$

$%5Cmathrm%7BX%7D_t%3D%5Cfrac%7Bx_t%7D%7B%5Csqrt%7B%5Calpha_t%7D%7D$ ， $%5Cmathrm%7BA%7D_t%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1-%5Calpha_%7Bt%7D%7D%7B%5Calpha_%7Bt%7D%7D%7D$ 来使公式变得更加简洁。

$%5Cmathrm%7BA%7D_t-%5Cmathrm%7BA%7D_%7Bt-%5CDelta%7Bt%7D%7D$ 就变成了 $d%5Cmathrm%7BA%7D_t$ . $%5Cmathrm%7BX%7D_t%20-%20%5Cmathrm%7BX%7D_%7Bt-%5CDelta%7Bt%7D%7D%20$ 就变成了 $d%5Cmathrm%7BX%7D_t$ .最终形式就是