使用ChatGPT编写高考数学试卷样本（未修改）

1.单选题 ：设函数$f(x)=\frac{1}{2}x^3-3x^2+bx+c$在$x=1$处取得极值，则$b,c$的值为（ ）。 

A. $b=-\frac{5}{2},c=\frac{7}{2}$ 

B. $b=-\frac{5}{2},c=\frac{9}{2}$ 

C. $b=-\frac{7}{2},c=\frac{9}{2}$

D.$b=-\frac{7}{2},c=\frac{11}{2}$

2. 单选题：已知曲线$\begin {cases}y=ax^2+bx+c\\ y=\sin x\end{cases}$在点$(0,0)$处相切，则$a,b,c$的值为（ ）。 

A. $a=1,b=0,c=0$ 

B. $a=-1,b=0,c=1$ 

C. $a=-1,b=0,c=-1$ 

D. $a=1,b=0,c=-\frac{\pi}{4}$

3. 单选题：已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为$\sqrt{5}$，则该双曲线的焦距长度为（ ）。

A. $a\sqrt{6}$ 

B. $\frac{\sqrt{6}}{a}$ 

C. $b\sqrt{6}$ 

D. $\frac{\sqrt{6}}{b}$

4. 单选题：已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^3-\frac{9}{2}x^2+ax+b$在区间$[0,5]$上的最小值为$-6$，则$a,b$的值分别为（ ）。 

A. $a=15,b=-\frac{25}{2}$ 

B. $a=12,b=-20$ 

C. $a=10,b=-\frac{35}{2}$ 

D. $a=8,b=-16

5. 单选题：已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\sqrt{3}$，则该椭圆的焦距长度为（ ）。

A. $\sqrt{6}a$ 

B. $\sqrt{6}b$ 

C. $a\sqrt{3}$

D. $b\sqrt{3}$

6. 单选题：已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$，则$\int_{-\sqrt{5}}^{-2}f(x)dx$的值为（ ）。 

A. $\ln \frac{\sqrt{5}-2}{3}$ 

B. $-\ln \frac{\sqrt{5}-2}{3}$ 

C.$\ln \frac{\sqrt{5}+2}{3}$ 

D.$-\ln \frac{\sqrt{5}+2}{3}$

7. 单选题：已知函数$f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$，则$\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx$的值为（ ）。

A. $-\pi$ 

B. $\pi$

C. $-2\pi$

D. $2\pi$

8. 单选题：已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-9}$在区间$(a,b)(-\infty<a<-2,2<b<+\infty)$内存在两个极值点，则$a+b$的值为（ ）。 

A. $0$

B. $3$

C. $5$ 

D. $7$

9. 多选题：已知函数$f(x)=\ln(\cos^2x+\sin x)+ax+b$，则（ ）。

A. $f'(0)=-1$

B. $f(0)=0$

C. $f''(x)<0$在$(0,\frac{\pi}{2})$内成立 

D. 当$x=\frac{\pi}{4}$时，$f(x)$取得最小值

10. 多选题：已知圆锥曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，则（ ）。 

A. 焦点在x轴上 

B. 对称中心在原点 

C. $F_1(-c,0),F_2(c,0)(c=\sqrt{a^2+b^2})$

D. 焦距为$\sqrt{a^2+b^2}$

11. 多选题：已知函数$f(x)=\frac{1}{2}\sin^2x-\cos x$，则（ ）。

A. $f(x)$在$(0,\pi)$内单调递减 

B. $f(\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{4}$ 

C. 方程$f(x)=0$有两个不同实根 

D. $\int_{0}^{\pi}f(x)dx=\pi-2$

12. 多选题：已知曲线$C:\begin{cases}x=t+\sin t\\ y=1-\cos t\end{cases}$。则下列说法正确的是（ ）。

A. $g'(x)>0,x \in (0,\frac{\pi}{4})$ 

B. $g''(x)>0,x \in (\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$ 

C. $\lim_{x \to 0} g(x)=-\infty$ 

D.$\lim_{x \to 0} g(x)=+\infty$

13. 填空题：已知点$A(1,2,-3),B(-1,0,-1)$，则$\overrightarrow{AB}$与向量$(2,5,k)$平行当且仅当$k=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}。

14. 填空题：已知圆锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$和平面$x+z=1$相交于曲线$L$，则$L$的方程为\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}。

15. 填空题：设函数$f(x)=\frac{1}{x^2-6x+13}$，则$\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}。

16. 填空题：已知平面$ax+by+cz=d(a>0,b>0,c>0)$与圆锥曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$相交于点$(3,4,5)$，则$a+b+c+d=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}。

17. 大题：已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^4-x^3+ax^2+b$。 

（1）求$f(x)$的极值及取得极值时$x$的值； 

（2）证明曲线$y=f(x)$在点$(0,0)$处有一拐点，并求该拐点坐标； 

（3）画出曲线$y=f(x)$和其切线及法线方程。

18. 大题：已知椭球面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a>b>c>0$。 

（1）求椭球面上离点$(0,0,c)$最近和最远的点； 

（2）设直线$l:\begin{cases}\frac{x-1}{3}=\frac{y+5}{7}\\ z=4\end{cases}$与椭球面交于点$P,Q$，求$\overrightarrow{PQ}$长度。

19. 大题：已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}(a\cos x+b\sin x)(a,b>0)$。 

（1）证明$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$内单调递减； 

（2）设$x_0(0<x_0<\frac{\pi}{2})$为$f(x)$的最小值点，求$a,b,x_0$的值；

（3）画出曲线$y=f(x)$及其渐近线方程。

20. 大题：已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2}+e^{ax}$，其中$a$为常数。 

（1）若曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x-3$，求常数$a$的值； 

（2）设直线$L:y=mx+n(m>0)$与曲线$y=f(x)$交于点$A,B(A<B)$，且$\triangle OAB(O(0,0),\angle AOB=\frac{\pi}{4}) $ 的面积等于$\frac{5}{8}$。求$m,n$的值。

21. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+k$，其中$k$为常数。 

（1）若曲线$y=f(x)$在点$(a,f(a))$处的切线方程为$y=2x-3$，求$a,k$的值； 

（2）设直线$L:y=k_1 x+k_2(k_1>0)$与曲线$y=f(x)$交于点$A,B(A<B)$，且$\triangle OAB(O(0,0),\angle AOB=\frac{\pi}{6}) $ 的面积等于$\frac{\sqrt{3}}{8}$。求$k_1,k_2$的值。

麻烦问下有哪位大佬知道这种问题怎么解决吗