用人话详解语言大模型
用人话详解语言大模型
作者：cheaterlin，CSIG后台开发工程师
| 导语“AI的iphone时刻到来了”。非算法岗位的研发同学迫学习AI，产品岗位的同学希望了解AI。但是，很多自媒体文章要么太严谨、科学，让非科班出身的同学读不懂；要么，写成了科幻文章，很多结论都没有充分的逻辑支撑，是‘滑坡推理’的产物。这篇文章从底层讲起，却不引入太多概念，特别是数学概念，让所有人都能对大模型的核心概念、核心问题建立认知。文章末尾也为需要严肃全面地学习深度学习的人给出了建议。 本来为了另一件事情，我被约了个稿。目标稿件有很多删改。这里干脆就把完整版放出来。
关于以chatGPT为代表的LLM，介绍它的B站视频、文章，已经很多。算法部分，约定俗成地，还是先来一段惯口。大家虽然看不懂，这里还是写一下：当前我们说的LLM，一般代指以chatGPT为代表的基于Generative Pre-trained Transformer架构的自然语言处理神经网络模型。顾名思义，它是个以预训练技术为核心的模型，是个生成模型。同时它是Transformer这个编码-解码模型的解码部分。
不管你能不能看懂，它就是这张图的右边部分。到了这里，非基础研究、应用研究的同学就开始在听天书了。读这篇文章的这一部份，大家是为了’学到‘知识，而不是为了’被懂算法的同学咬文嚼字扣细节给自己听，被秀一脸，留下自己一脸茫然‘。大家的目标是‘学习’为首，‘准确’为辅。那我就用不嗑细节的‘人话’跟大家讲一讲，什么是自然语言处理大模型。虽然，这些内容就仅仅是’毕业生面试应用研究岗位必须完全答对‘的档次，但是，‘知之为知之，不知为不知，是知也’，大家如果不懂，是应该看一看的。
1 编解码与表示学习
什么是自编码器（autoencoder，encoder-decoder model）？通俗地说，用拍摄设备，录制视频，录制成了mp4文件，就是采集并且encode；你的手机视频播放器播放这个视频，就是decode视频并且播放。做encode-decode的模型，就是编码-解码模型。很明显，编码模型和解码模型是两个模型，但是，他们是配对使用的。你不能编码出一个.avi文件，然后用只支持.mp4的解码器去解码。
在深度学习领域里，下面这个就是最简单的编码-解码模型示意图。f函数是编码器，把输入x变成某个叫做h的东西，g是解码函数，把编码出来的东西，解码成输出r。
那么，最简单的编码器，就是什么都不干：f(x)=x，h=x，r=g(f(x))=h。输入‘Tom chase Jerry’，输出就是‘Tom chase Jerry’。显然，这样的字编码器不需要训练，并且，也没有任何用处。
如果，输入‘Tom chase Jerry’，输出是‘汤姆追逐杰瑞’，那么这个自编码器就完成了机器翻译的任务。我们人类可以做翻译，实际流程上，也跟这个差不多。那么，我们人类是怎么做到的呢？我们并不是以‘做翻译’为唯一的目标去学习语言的，我们会学习‘单词’、‘语法’、‘语言所表达的常识’这些语言之下最基础的‘特征’的‘表示’。当我们学会了被表达的事物和它在不同语言中的表示之后，我们就能做翻译这件事情了。我们仔细审视一下这个过程，我们至少做了两件事情：
1 ) 学会被各种语言所表示的‘东西’，这里我们称之为世界知识 (world knowledge)，它包括事实性知识 (factual knowledge) 和常识 (commonsense)。其中包括，学会至少两门语言里表达世界知识的单词和语法。
2）学会按别人的要求去执行翻译这个任务。
那么，这两件事情的第一件，就是GPT的第二个单词，Pre-train(预训练)。我们就是要去学到‘Tom chase Jerry’这句话和其他无数句话在被拆解成世界性知识之后的‘表示’。
Transformer就是一个专门用于自然语言处理的编码-解码器架构。编码器-解码器可以有很多不同的架构细节，就能得到不同的自编码架构，Transformer是此刻看起来效果最好的，能很好地学到自然语言背后的特征，并且有足够大的模型容量。所谓模型容量，是指，有一些模型参数过多，就反而学不到特征，或者无法训练了，无法用于表示特别复杂的东西。
2 GPT
GPT全称Generative Pre-trained Transformer，前面讲了编解码，算是讲了一点点Transformer，也讲了预训练、Pre-trained。那么，Generative从何讲起？
我接着说人话。前面讲到了，编码器-解码器是两个不同的模型，就像你看视频，你的手机上并不需要视频录制、编辑软件，只需要一个解码-播放器一样。训练两个模型太麻烦，我们希望就围绕一个模型做研究，做训练。我们能不能不做编码，就围绕解码模型来达到一些目的呢？答案当然是可以的。打个不严谨的比方。我现在想找人帮我画一幅肖像画。其实我并不懂怎么画画。于是，我请人给我画。我并不能从画工技艺、艺术审美方面去评判他画得好不好。但是，我是有能力去判断我请的人画出来的画是不是令我满意的。此时，我就是一个decode-only的模型。
你会说，“你这个decode-only的模型必须要有一个懂encode的画师才能工作啊“。是的，我不懂画画。确实需要一个画师。但是，你记得吗，OpenAI训练GPT3的模型，就是给它海量的数据，让它去训练。那么，画师不教导我绘画技巧，只是不停的给我画肖像，并且，给我看肖像是否满意，我指出哪些地方不满意，他做出修改。这个事情干了一千万次，我是不是至少能学到‘当给我一副没画好的我的肖像画，我知道应该怎么接着画下一笔‘？我不是从拆解好的理论体系里去学习的，我并不能叫出各种会画技法的名字，但是，我就是会做上面这件事情了。
相当于，我听到“GPT是一个预训练模”，我就知道下一个字一定是“型”字一样。而因为我只擅长接着前面做好的事情完成接下来的事情，所以，我会‘生成’这个工作方式，同时，我也只会‘生成’这个工作方式。这就是Generative的意思。
总结一下，Generative是被训练出来的模型的工作的方式，Transformer是这个模型的架构，Pre-trained是形容Transformer的，就是说训练这个模型，预训练是不可或缺的核心步骤。
3 巨量参数
有一个很重要的点，被训练完成的我，是如何知道没画完的肖像画的下一笔是应该怎么画的？就相当于你听到“今天天气很”之后，你是怎么知道下一个词是什么的？显然，你是靠猜测的。什么东西来支撑你的猜测？是你被训练了一百万次的经验。这些经验构成了什么？这些经验被你潜意识地总结成了一些规律。有一些规律确定性很高，有一些规律确定性很低。“今天天气很”后面接的字，确定性很低，“GPT是一个预训练模”后面接的字确定性很高。那么，你实际上就是学到了一个概率模型，这个概率模型其实是无数个场景的概率分布组合而成的概率模型。预测“今天天气很”的下一个词，是一个概率分布。“GPT是一个预训练模”的下一个词是另一个概率分布。所以，从头学习机器学习、深度学习，就会知道，所有机器学习、深度学习模型都是概率模型，统计学是核心工具。
GPT3的paper讲，OpenAI做的GPT3有1750亿参数。不管paper怎么说，实际上是如何做到的。你只是自己想象一下，想要记住足够全面的‘世界知识’，是不是至少要有足够大的'模型体积（模型容量）'，即足够多的参数？更深入的研究还在继续进行，此刻，按照GPT3的paper来说，当参数量达到1750亿的时候，模型就能记住这个世界的‘世界知识’所需要的所有‘特征’的‘表示’了。每个参数用16位的浮点数保存，体积是320GBytes。这个世界的‘世界知识’，被这320G的数据表示了。
我们在对话聊天的时候，如果说了一些自己觉得是常识，对方却不懂的时候，是不是对话就较难进行下去了？所以，为什么我们的模型需要这么多参数？因为它需要‘什么都懂’。如果我说我用32M规模的数据就记住了这个世界的常识，你是不是会觉得‘这显然不可能’？
4 GPT3不等于chatGPT
前面已经讲了Generative、Pre-trained、Transformer这些概念。我们接着讲chatGPT。首先，GPT3不等于chatGPT，GPT3这个预训练模型，是chatGPT的基础。回顾我们最开始讲的‘人如何学会翻译’至少需要两个步骤，第一步就是训练一个GPT3的预训练模型。有了这个模型之后，我们还要接着做一些训练，才能完成chatGPT。
我们首先来回顾一下GPT1、GPT2。
GPT1的paper名字叫做，Improving Language Understanding by Generative Pre-Training，通过生成式预训练提升模型对语言的理解能力，这就是我们前面讲过的东西。但是，它还没达到很好的效果。我们想在decoder-only的模型里学到‘用语言呈现的世界知识’的'深层表示'，初步证明这个方向有前途。
GPT2的paper名字叫做，Language Models are Unsupervised Multitask Learners。在这篇文章里，找到了让GPT1这个‘思想方法’达到很好的效果的技术手段，通过自监督学习。怎么个自监督法呢？就是我们手里有很多书籍、文章，我们通过给模型书籍的前n个字儿，让它猜测第n+1个字儿是什么，我们手里有正确的第n+1个字儿，让模型去不断纠正自己。模型为了达到更准确猜中第n+1个字儿的目标，就被迫‘学到’了潜在的‘世界知识’的表示。就像我们学到了语言的语法，记住了单词，掌握了世界的常识。
实际上，我们交给模型的任务，都是‘猜下一个词’。但是计算‘56+21=’也是猜下一个词。所以，又可以把猜下一个词分解为很多种猜词任务，数学计算就是其中一种。最后，证明了GPT2效果还不错。多说一句，上面这么搞，怎么就是自监督了呢？是否是‘有监督’学习，本身这个概念比较模糊，并不是一个科学的定义，只是大家习惯这么叫而已。我们约定俗成，把‘训练数据是经过精巧地设计，并且准备过程对人力成本较高’的训练，叫做有监督训练，否则就是无监督。我们只是把前人努力写的书做了一个调整给到模型，按照这个约定，应该属于无监督学习。但是，好像，我们又其实是在用人类努力的成果在训练它。所以，有人就开始称这种情况为‘自监督学习’。
接着，你就会想，深度学习是一门科学啊，怎么能对概念的定义搞得这么模糊不严谨？对，你说得没错，深度学习，在玩数学的人眼里，就是充满了不严谨，处在鄙视链的底端。但是，你挡不住深度学习应用的效果好呀。深度学习就是这么一系列‘不严谨’，充满了‘我不知道为什么，但是这么做效果就好’的方法。科学家们在努力地解释它为什么效果好，但是，这些研究远远追不上，找到‘效果更好，但是并不理解为什么效果好’的方法的步伐。对你自己的认知亦是如此，你有自我认知，那么，你的自我认知是怎么来的？“我是谁，我从哪里来，我要到哪里去？”
GPT3的paper名字叫做，Language Models are Few-Shot Learners。意思就是，在GPT2的思路的指导下，我们通过把参数增加到1750亿，真地学到了‘世界知识’！学到了这些潜在的‘表示/特征’之后，我们只需要再让模型学一个任务的少量几个case，模型就能学进一步学到我们给的几个case里的潜在的'特征'，即这几个case所表达的规律和逻辑。
但是，GPT3掌握了知识，但是，它还不会干活呀。比如，你给它输入“给我写一段简介”，模型理解你确实说了“给我写一段简介”，但是，它此刻可以生成很多东西。比如生成一个“要简介限制在120个字以内”。它是个生成模型，把你说的话续写下去，也是一种生成啊！所以，我们还得教一个理解了我们的话模型，按照我们想要的方式去生成结果。就像，我们在进行一场对话。所以，就是chatGPT，chat+GPT。我们要进行聊天，本质上，就是让模型‘要能听懂我们的指令’。
所以，OpenAI接着又有一篇重磅论文Training language models to follow instructions with human feedback，它在OpenAI的官网上，是另一个名字Aligning language models to follow instructions。顾名思义，就是要通过一些‘问题-回答’对的训练数据，让模型能在收到“给我写一段简介”这样的指令性的输入的时候，真地去按照指令的要求去生成接下来的东西。OpenAI的标题里出现了一个词'Alignling(对齐)'，你可以不管它。但是，理解了这个词，你才理解了‘制定对齐/指令微调’的核心技术。有兴趣，你可以接着看这个自然段，也可以不看，直接跳到下下一个自然段。
‘指令对齐’，就让掌握了知识的模型能按照我们想要的方式去生成更多的词了。达到这个效果的方法，讲起来，很硬核。为了说人话，我就打个比方。现在，我们有一个房间，里面有几百本书就像垃圾一样堆砌在一起。这就是预训练已经把隐藏特征学到了。我们应该怎么去整理这些书籍呢？这个问题，取决于，我们后续要如何使用这些书籍。我们可以按门类，去排列书籍，每一类书籍一个书架。
也可以按照书名去排列书籍，所有书籍分别根据书名被放在按A-Z排列的的书架里。所以，对齐，就是根据我们的目的，去整理模型学到了的知识。那么，为什么我们不用整理、重构之类的词，而用对齐呢？因为，我们知道模型学到了知识，但是，我们能看到这些表示，就是1750亿个参数，但是，人类看不懂它。就像，人类能看到自己的脑袋，但是脑袋里的神经元是如何联合在一起工作的，看不懂。
更具体的，‘1+1=2’这个知识，你知道它存储在你大脑里的具体哪个神经元上么？你当然不能。所以，我们没有细粒度的手段去整理书籍。有一个比较粗力度的手段，就是：按照我的需求，大概地把一些数据强行抓住首尾两本书，把它们压齐。你整理书籍，可以一本一本放。但是你没法去拿其中一本的时候，你当然可以从一对儿书的两端，用力压，被按照我们想要的方式挤压之后，书自己就变得更整齐了，对齐到了我们想要的结构。我再打个比方，社会共识、常识，本身也是‘对齐’得来的。
‘婚姻应该是自由恋爱的结果’，这个常识，不是从来如此的。是理性主义崛起之后，紧接着浪漫主义在1900年左右崛起，在20世纪才出现的。浪漫主义借由‘罗密欧与朱丽叶’之类的文艺作品广泛传播、得到认可，进而才把我们的常识‘对齐’成了这么一个结果。说得更远一点，习惯了中国文化的人在美国必然会被‘文化冲突’所困扰，也是因为，中国和美国其实都通过媒体把自己的常识对齐成了不同的‘形状’。‘对齐’无时无刻不在这个世界里发生。
实际上，模型每次只能生成一个词儿，那么，把问题和回答都当成字符串连接起来，结构是：输入[问题里所有的词][回答的前N个词儿]，生成回答的第N+1个词儿。如果进行第二轮对话。输入就变成了：输入[第一个问题里所有的词][第一个回答的所有词][第二个问题的所有词][第二个问题的回答的前N个词]，输出[第二个回答的第N+1个词]。至于模型如何知道哪一段是问题，哪一段是问题，这里不展开描述。
实际上，chatGPT的训练过程，可以看下面这张图，我不做解释，能不能看懂，随缘（ Notion – The all-in-one workspace for your notes, tasks, wikis, and databases. [1]
至此，你知道了GPT3是chatGPT这个‘技惊四座’的模型的基础。
5 RLHF-强化学习
我们都知道，chatGPT至少经历了预训练、指令对齐、你可以理解为，一个大学生上一门课，指令对齐就是老师在课堂上给我们上课。但是，我们学习不能总是耗着一个老师一直给我们讲啊，成本太高了。就是说，积累大量指令对齐的QA（问题-回答）训练数据，成本很高。后续更大量的学习，还得学生自己在脱离老师的强帮助，自行学习。一则效果更好，二则成本更低。
所以，我们用完成了指令对齐的模型，针对大量问题作出回答。并且，每个问题都给出10个回答。由人类去标注，所有回答里，哪些回答更好。用这个标注的QA对去接着‘对齐’模型，让模型把知识对齐到更符合我们的要求。这个时候，人类需要做的，就仅仅是提问题+标注，之前是要给出问题且给出答案。成本降低了一些，速度也变快了一些。这里，强化学习实际上是训练一个奖励模型（reward model）作为新的老师，来对模型的回答进行‘批改’，让模型愈发把知识‘对齐’到我们想要的样子。
上面简单的强化学习讲解，其实有一个很严重的问题。如果对于同一个Q，老师一会儿说A1好，一会儿说A2好，就变成了学生的脑子在来回拉扯。所以，强化学习，在细节上，还有更多不同的细节。为了讲人话，我这里略过这些细节。
6 LoRA与instruction fine-tuning
大模型太大，训练成本太高，人们总在寻找更低成本近似的方法。最近LoRA也是跟CV（计算机图像）领域的Stable Diffusion一起大火。这里也用人话讲一下LoRA fine-tuning（不讲Stable Diffusion）。为了讲清楚，会有一点点不讲人话的时候。
LoRA paper的标题是LoRA: Low-Rank Adaptation of Large Language Models。其实，这个方法，属于‘迁移学习’这个领域。LoRA达到的效果是：在有一个已经训练好的大模型之后，再训练一个依赖于大模型的小模型，组合在一起工作，达到用较低的成本实现对大模型的微调。结果稍稍裂化于对大模型进行了微调，但是微调成本更低。低在哪儿呢？接下来就得先讲明白LoRA是如何工作的。
什么是low rank？低排名？low rank是个数学概念，rank是指矩阵的秩，low rank Adaptation就是说，用秩较低的矩阵替代之前秩较高的矩阵。我还是稍微说一下什么是矩阵的秩，因为会被多次用到。
我们有一个3x4的矩阵如下：
[1，2，3，4]
[2，4，6，8]
[3，6，8，12]
显然，要存储它，我们需要用到12个数字。但是，这个我特别构造的矩阵是有一个特点的，第二行可以由[1，2，3，4]乘以2得到，第三行可以由[1，2，3，4]乘以3得到。那么，实际上，我就可以用[1，2，3，4]里的4个数字，加上1、2、3这3个系数，总共7个数字就可以表示这个矩阵。我需要的数字数量从12个降低到了7个。原始矩阵叫做W，分解之后变成了需要的数字更少的两个矩阵B和A，公式就是W=B乘以A，记为W=BA。
在我这个例子中，是无损失地进行了分解。数学上，有办法进行精度有损的分解，W可以转化为更少的数字构成B和A。这就是说人话版本的矩阵的秩分解。
这里，我们补充介绍一下深度网络里的参数是怎么组织的：
在这个图中，我们看到了一个网状结构。其中‘O单向箭头指向P’的意思就是‘O参与计算，得到P’。我们就看到了z1、z2、z3很多层，z1这一层是一个W1矩阵和B1这个偏置向量。z1、z2、z3，越往右，就越深，就是深度网络。所谓参数，就是这些密密麻麻、层层叠叠的计算网络里的数字。这个图只是一个示意，真实的网络结构，各有各的不同。以及，必须在每个网络节点上选择合适的激活函数，后面不会用到，这里不做展开。好了，我们接着讲LoRA。
理解了低秩分解，LoRA的paper的意思就是：
假设我们的模型深度为l（layer的首字母），每一层的参数为矩阵W。并且，我们之前就已经训练好了一个模型，这个模型的参数冻结住，永远不改变了，记为W0。那么，我们训练模型就是在不断改变下面这个公式的ΔW这个模型参数变更的增量。
这个增量可以通过低秩分解，分解为：
训练主要过程依然和其他所有fine-tuning一样，只是多了一个细节：把训练后的参数变更保存到了BA中，而不是直接更新到W0里去。
这里，稍微讲解一下训练一个Transformer模型需要的显存量。根据这篇文章的计算，训练每2个字节大小个16位浮点数表示的参数，需要20个字节的显存。那么，常见的70亿参数的模型，大小是14GBytes，需要的显存至少是140GBytes，如果要提高并行度，就需要更多显存。当前比较强的A100显卡，单卡有40G显存和80G显存两个版本，单卡无法进行训练，必须要多卡同时进行。因为如果显存不够的话，是根本无法开始训练的。显存容量，决定了模型能不能开始训练。GPU算力，决定了要训练多久。
那么，我们可以得到以下几个结论：
1）模型训练好之后，做线上推理服务，计算量，并没有减少，反而可能有所微微增加。
2）低秩矩阵的大小是可以调整的，可以是非常小。低秩矩阵越小，丢失的精度越多。
3）训练过程，两个核心成本是显存使用和GPU运算量。LoRA方法下，低秩矩阵BA是可训练参数。显存的使用，等于1倍模型参数的体积加上10倍可训练参数的体积。GPU计算量可以根据可训练参数的数量决定，如果我们把BA设定得比较小，训练量可以比全参数模型训练降低成千上万倍。
4）微调后的模型和原始模型的参数不能相差过大，不然用一个低秩矩阵BA所替代的ΔW会丢失大量精度，推理效果特别差。
5）LoRA是一种模型训练的思想方法。它可以适配到很多类型的模型上。GPT模型，或者Stable Diffusion的模型，都可以。训练时节省的显存量，要根据具体模型结构来计算。
这些特性，说一个更具体的case。stable diffusion是一个开源的结合了Transformer的文字生成图片的CV（计算机视觉）模型。它的参数量是1.2亿多，大小469M。假设，如果没有LoRA的方法，可能就需要至少4G的显存。家庭游戏显卡显存一般在8G左右，因为显存不够，训练的并行度很低，即使是民用GPU也可能在闲等，在同一张显卡上，都需要更长的训练时间。LoRA让显存需求降低到1G左右，并行度提高了8倍。训练的总结算量还降低上百倍。训练成本大大降低。。同时，训练出来的LoRA小模型，体积就32M左右，社区里就流行起了把自己fine-tune出来的stable diffusion下的LoRA模型互相传播。
回顾一下LoRA与GPT，我们可以说，LoRA方式的fine tuning的对于GPT的价值，并不太大。只有在很小的场景，有LoRA的发挥空间。
现在，你应该能理解LoRA论文原文中的这种图了。注意，这里，LoRA是对原深度神经网络的每一层都设计了对应BA矩阵。
综上，如果我们手里已经有一个强大的模型，我们仅仅像微调它的表现，而不是想要教会它很多新的东西，使用LoRA方法，成本是很低的。比如，文生图的时候，我们不调整生成出来的图片的框架、构图，我们只想调整图片的风格（真实系、漫画风）。或者，我们让一个强大的模型去做一些简单的任务，把简单的任务做得特别好，也可以用LoRA。
7 常见的开源类GPT3模型
Meta开源的LLaMA是现在市面上预训练做得最好的开源的架构类似GPT3的模型。它提供了70亿、130亿、650亿3个参数规格的模型。特别说明一下，它只做了预训练。它支持多种语言。英文效果最佳，中文和其他语言的效果一样，比英语差一些。
Vicuna-7b是用70k指令对LLaMA进行了指令微调，它微调的70亿参数的LLaMA版本。是当前开源的做完了指令微调的模型里，效果最好的。
chatglm-6b是清华大学清华认知工程实验室基于自己设计的预训练模型架构General Language Model微调而来的聊天模型。参数规模是62亿。GLM模型是基于Transformer架构，更像Transformer的Encoder部份-BERT。预训练用了1T token的中英文语料。没说具体用了多少语料进行指令微调。中文聊天的效果，是开源模型里最好的。但是GLM模型架构天花板有没有GPT3那么高，需要有人去研究，清华大学没有对外公开。glm预训练模型有一个130亿的版本，没有对外开源。
bloom-176b是参数最多的开源预训练模型，模型架构和GPT3很相似，是学术界很多人一起窜起来的一个预训练模型。它只做了预训练，做QA任务，效果较差。
alpaca-lora-7b是依附在LLaMA-7b上的模型。这个模型效果一般，但是它开源了52k条挺有价值的指令微调训练数据，它是用了一个用chatGPT作为老师来生成更多训练数据的方法（paper的名字是：SELF-INSTRUCT: Aligning Language Model with Self Generated Instructions）来训练的模型。同时，alpaca是一个LoRA方法下的模型。self-instruct这个思路，非常有趣，其实大家都会自然而然有这种想法：既然有了chatGPT这个效果特别好的模型，为什么我不直接只搜集指令问题，然后用chatGPT给我生成指令QA里的Answer，并且生成更多类似的QA对呢？这个想法是很好的，我们也在用。但是，文章里也说了，会出现‘对某些垂直领域的问题过拟合，对其他领域的问题欠拟合’的问题，这里不展开细节。
8 建议入门路径
计算机大二课程：
https://www.bilibili.com/video/BV1JE411w7Ub 吴恩达<斯坦福 CS229 机器学习>课程
https://www.bilibili.com/video/BV1SL411U7SF <斯坦福 CS224n 自然语言处理>课程
新手友好的入门路径：李宏毅机器学习系列Hung-yi Lee。
对截止2017年的理论研究最全面、深入的总结：
大概学懂前面的内容之后，看深度学习二号人物bengio写的书，大家亲切地叫它‘花书’。
深度学习 (豆瓣)
PyTorch的API极度友好，可以通过下面这本书来数学。如果从这本书上手，你会不知道自己写的简短的代码在干什么。此书由亚马逊前首席科学家李沐所著，写得不错。这本书有很多个版本，最新的版本是2023年出的，才是以PyTorch为例子。
动手学深度学习（PyTorch版） (豆瓣)
如果过程中有很多概念理解半天都理解不了，特别是统计学的概念，在碰到的时候，就可以去B站找解释得比较好的视频，我随便列举一下：
十分钟搞定最大似然估计 https://www.bilibili.com/video/BV1Hb4y1m7rE
【概率论】贝叶斯公式与后验概率 https://www.bilibili.com/video/BV1mY411h7ps
极大似然估计/最大后验估计—通过抛硬币例子理解 https://www.bilibili.com/video/BV1GZ4y1m7gv
「一个模型」教你搞定贝叶斯和全概率公式 https://www.bilibili.com/video/BV1a4411B7B4
“损失函数”是如何设计出来的？直观理解“最小二乘法”和“极大似然估计法” https://www.bilibili.com/video/BV1Y64y1Q7hi/
“交叉熵”如何做损失函数？打包理解“信息量”、“比特”、“熵”、“KL散度”、“交叉熵”
https://www.bilibili.com/video/BV15V411W7VB
重新理解线性回归 - 2 - 广义线性模型：sigmoid函数到底是怎么来的 https://www.bilibili.com/video/BV13X4y1R7im
参考文章：
[1] Notion – The all-in-one workspace for your notes, tasks, wikis, and databases.