高中生挺苦的， 科学计算和人工智能都让用，宛如让我们的士兵拼命练习弓箭， 而不让使用鸟枪一样的， 但是我们的社会不同康熙时代， 在康熙时代对鸟枪的禁用是全面的， 因此我要利用我们这个开放文明的时代， 做一些抛砖引玉的事情， 期待着为教育改革摸索一点可能的方向。 我期待着学生能从繁琐的计算中解放出来，能够充分利用科学计算和人工智能，能够成为创新型人才。 

高中题目

平面向量的表示

在平面中，向量可以用有向线段来表示，它有一个起点和一个终点，表示了方向和大小。向量通常用于描述物理量如力、速度和位移等，这些都有方向和大小两个属性。

直角坐标系

在二维平面上，我们通常使用直角坐标系（也称为笛卡尔坐标系）来描述点的位置。这个坐标系由两个互相垂直的数轴组成，通常称为x轴和y轴。平面上的任何一点都可以用这两个轴上的坐标来表示。

向量的坐标

在直角坐标系中，向量可以由其起点和终点的坐标差来表示。例如，如果一个向量的起点坐标为(x1,y1)，终点坐标为(x2,y2)，则该向量可以表示为(x2−x1,y2−y1)。

三维空间的直角坐标系

在三维空间中，我们增加一个与x轴和y轴都垂直的z轴，形成一个三维直角坐标系。这个坐标系可以描述三维空间中的点和向量。

三维向量的坐标

，其中是向量的起点坐标，是向量的终点坐标。

叉乘的定义

，它们的叉乘 是一个与 都垂直的向量。叉乘的模长等于构成的平行四边形的面积，方向遵循右手定则。

，则叉乘的公式为：

分别是x，y，z方向上的单位向量。

三维向量 \(\vec{A}\) 和 \(\vec{B}\) 的叉积可以用矩阵的行列式写成下面的简单形式

展开这个行列式，我们得到：

  方向，因此我们不能直接使用三维叉积。但是，我们可以将二维向量“提升”到三维空间，方法是在其末尾添加一个0作为 z 分量，即 。然后，我们可以使用三维叉积的公式，但结果将只在    方向上有分量，因为在 xy-平面上的向量叉积总是指向垂直于该平面的方向。

   分量得到，即  ，这实际上就是计算了一个 2x2 行列式（determinant）：

在 MATLAB（或北太天元）中，你可以这样计算两个二维向量的“叉积”的模长：

再说到这题目，ABCDA_1B_1C_1D_1 是一个单位正方体，  我们可以A_1 为原点建立直角坐标系, 几个点的坐标分别是 B_1 (1,0,0), D(0,1,-1),    A(0,0,-1),  M(0,0,-1/2),  N(1/2, 1, 0),    点 P 的坐标 可以设为( p, 0, 0), 

计算 DMN 的法线， 然后利用 DP 与法线垂直 就可以计算出 p. 

首先，我们根据题目信息，在单位正方体中，以$A_1$为原点建立了直角坐标系，并给出了各点的坐标。

第一步，我们需要找到平面$DMN$的法线。为此，我们先要找到两个在平面$DMN$上的非零向量。

向量$\overrightarrow{DM}$可以由点$D$和点$M$的坐标计算得出：

$$

\overrightarrow{DM} = M - D = (0, 0, -\frac{1}{2}) - (0, 1, -1) = (0, -1, \frac{1}{2})

$$

同理，向量$\overrightarrow{DN}$可以由点$D$和点$N$的坐标计算得出：

$$

\overrightarrow{DN} = N - D = (\frac{1}{2}, 1, 0) - (0, 1, -1) = (\frac{1}{2}, 0, 1)

$$

第二步，计算平面$DMN$的法线。

第三步，利用点$P$、$D$和法线向量$\overrightarrow{n}$之间的关系来求解$p$。

向量$\overrightarrow{DP}$可以由点$D$和点$P$的坐标得出：

垂直，所以它们的点积为0：

代入向量，我们得到方程：

-1p - 1/4 + 1/2 = 0

解这个方程，我们得到：

p = 1/4

所以，点$P$的坐标是(1/4, 0, 0). 

这是文心一言和北太天元协同得到的结果， 其中北太天元把文心一言算错的地方改正了， 它算错的地方在