挺有用的常微分方程（重置1）
概率论于是数理统计的部分实际上已经到了尾声（或者说对于一般的场合而言所有常用的内容都已经介绍完了），因此有必要考虑一下写一些新的东西了……
想来想去，发现之前写的常微分方程的部分还没有完善，本来想继续写的，但是仔细重读了之前的写的内容，发现从常系数线性微分方程部分开始，实际上就有很多写出来自己也读不太通顺的地方，所以索性就从这部分开始，重新写一些东西，捋顺一下思路，争取能给出更好的内容来~
实话说，目前能找到的常微分方程的教材很多都蛮简易的，简易到更像是一本解方程手册，我总觉得这并不应该是教材，亦或者是学习过程中的主线，对于微分方程的原理，以及解法中的思想，这其实远比某种特定的方法更为有意义，所以这里我选了一本前苏联时期的教材。这本教材里对初等解法并没有太过详细的介绍，但是对很多定理（比如解的存在唯一性定理）都有比较便于理解的说明，实际上是更为吸引人的。
前面的写过的部分仍然保留，不予删除，因为有关初等解法的部分介绍的相对详细，实际上在应用层面上有它的意义。而尽管之前关于常系数线性微分方程的部分介绍的过于混乱，但仍然可以作为一个参考使用。考虑到这些，这里只是重新开始介绍，而不再更正。
Chapter Special One 常系数线性方程
S1.1 常系数线性齐次方程
所谓常系数线性微分方程，就是指形如：
的方程，其中方程右侧是一个关于变量x的函数，而左侧是关于y的各阶导数的线性组合，并且组合系数都是常数（甚至允许是复数）。通过存在唯一性定理（当然是后面会介绍的内容），我们可以知道的是，这个方程在给定初值的情况下解是唯一存在的。
我们总是可以采用不同的记号去表示同一个事实，这些记号仅仅是形式上有所差异，含义上大多相同，比如说，我们有：
考虑到：
这与多项式的形式十分接近，只要我们另记：
就可以将方程改写成：
在这里，我们实际上应用了代数学中有关算子的思想，但是这并不是我们的主要问题，因此我们并不在此给出算子的具体定义，我们只需要理解这样一点，即“算子是作用于变量（可以是一般变量，向量或者是函数等）上的映射的符号化表达”。这个说法并不严谨，但足够我们接受上面这个方程的新形式，以及我们后面基于“算子”对方程的处理。
从导数的定义上我们很容易就知道，微分算子（即，D）的作用实际上是将原函数映为了导函数（在可导区间上），而微分算子的多次作用实际上的结果是对函数y求了高阶导数。
改写后的方程被表达成了各阶微分算子的和作用在函数y上的形式。我们仔细观察左侧的表达式，不难发现，算子部分实际上类似于一个多项式：
我们将上述算子归结为一个多项式表达的算子，即p(D)，于是方程进一步改写为：
代数学中，我们总是更愿意看到首项系数为1的多项式（称之为首一多项式）。事实上，对于任意首项系数不为0且不为1的多项式，我们总是可以通过提取首项系数的方式，将剩余部分转化为首一多项式。在方程当中，只要我们将首项系数归入右侧函数中去，自然也可以得到：
通过这样的转化，我们最终得到了这样一个思路，即对于常系数线性微分方程而言，起到决定作用的应该是微分算子构成的多项式的性质以及右侧函数的表达式。我们称对应于某一常系数线性微分方程的首一多项式为该方程的特征多项式。
在众多常系数线性微分方程中，最简单的当然是右侧函数为0的情况。在此情况下，我们将不再考虑有关右侧函数相关的内容，而只集中于特征多项式对解微分方程的贡献。
对于一个多项式而言，一般而言最先想到的无非是多项式的分解，即求多项式方程：
的所有复数根。根据代数基本定理，这是可以做得到的，并且我们知道，在不考虑重数（即，某些根重复出现的次数）的情况下，这些根一共有n个。于是我们将特征多项式改写为：
为某个因式出现的次数。对于微分算子（事实上当然不止微分算子），更改多项式表达的形式，实际上并不影响对函数的作用结果（新的形式下的作用方式为从右向左依次对函数作用，后一个因式作用于前一个因式的结果之上，并且我们承认每个因式的作用结果之间是结合的）；对于分解形式的多项式而言，改变各因式出现的顺序也不改变对函数的作用效果。但是，当我们将特征多项式表达成因式相乘的结果之后，我们对于微分方程却又有了新的见解。不难想到，如果某个因式能够做到：
那么由此简单的一阶微分方程解出来的解一定是原微分方程的一类解。此时，由初等解法，我们直接能够知道：
均为1，则显然，每个有该形式的解都将是原微分方程的解。对于齐次方程而言，这些解的简单线性组合一定都还是原方程的解，于是我们就可以说，对于常系数齐次线性微分方程而言，当特征多项式没有重复的因式时，形如：
的函数一定是该方程的解。现在我们考虑，在该情形下（即，特征多项式没有重复的因式），是否该方程的每一个解都可以被表示成这样的形式呢？
我们记：
，它是该方程的解。我们能够通过该函数，具体地得到这样一组数：
。现在，我们假设有：
，使得我们的假设成立。如果有，则根据存在唯一性定理，我们就能够知道，任意常系数线性齐次方程的解都是该形式的。
事实上，只要对我们的假设求对应的各阶导数的数值，就能够得到：
的线性方程组，其系数矩阵为一个Vandermonde矩阵。由于我们讨论的情况是各不相等的，于是显然，该矩阵的行列式是不为0的。由Cramer法则，我们能够直接得到。于是，由存在唯一性定理，我们能够知道，对于任意的常系数齐次线性微分方程而言，它的解都具有：
这样的形式。
大于1，那么解的形式会发生什么样的变化。
大于1，我们当然知道，函数：
为原方程的一类解。但是，如果我们仍然认为此时原方程的通解形式与各因式重数为1时一致，我们就会发现，我们不再能够通过上述方法求出唯一的一组系数，它们不再能确定唯一的一个解，这将与存在唯一性定理相矛盾。这启发我们，重数大于1的时候，或许有一些更一般的情况被我们忽略了。
事实上，我们期望：
能够发生的时候，下式同样得到了满足：
反过来，如果我们直接考虑第二个式子的时候，第一个式子并不一定得到满足，不过此时得出来的函数仍然是原方程的解。考虑到重数为1时的解的形式，我们大胆猜测，对于重数不唯一的因式，其构成的微分方程的解的形式应该是：
（注意，在这个猜测的函数中并没有将常数也写进去，是因为这个常数可以被看做是指数函数前的这个“因子函数”的一部分。简便起见，自然略去它的表达。）
我们将这个猜测的函数代入到这个“子方程”中去，得到：
我们简单计算一下重数为2时的情况，即：
（这里我们略去了下标，实际上这样的结果已经脱离了微分方程，而是微分算子以及具有该形式的函数的性质，λ也不再必须是特征多项式里的数。）
我们可以用数学归纳法证明：
于是，此时的问题就转化为了，在我们的假设下，应该有：
这说明，对于这个“因子函数”，当它被求导数的次数等于重数的时候，它就化为了0。这是一个及其简单的方程，直接积分就可以得到：
通过类似的思路，我们就能够知道，此时：
一定是这个子方程的通解。
这样，我们就分别对重数为1的情况和重数不为1的情况均做了讨论。
现在，我们将讨论的全部结果做以总结。对于常系数齐次线性微分方程：
在引入微分算子记号之后，我们可以将其转化为：
其中，p(x)称为此微分方程的特征多项式。利用代数基本定理，我们可以将其分解，得到：
为该多项式的特征值，亦或称之为该微分方程的特征值。而称之为对应因式的重数。之后，我们考虑对于每一个因式，如果对于其对应的子方程：
能解出一类函数，那么它一定是原方程的解。在此基础上，我们讨论了重数为1和不为1的两种情况，并证明了对应的解一定是该子方程的通解，从而能够组合出原方程的通解。综合结果，我们知道，对于任意的常系数齐次线性微分方程而言，其通解的形式为：
思考：
证明结论的推广—平移公式：
解下列微分方程：
；；；利用Euler公式：
思考对于常系数齐次线性微分方程而言，最终的表达式中应该出现哪几类实函数。（不考虑待定系数中的复数，作为系数出现的复数归入待定系数中不考虑。）
最後の最後に、ありがとうございました！